Beispiel Nr: 14
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 2x^6-2x^5 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 2x^6-2x^5=2x^5(x-1)\\ f'\left(x\right)= 12x^5-10x^4=12x^4(x-\frac{5}{6})\\ f''\left(x\right)= 60x^4-40x^3=60x^3(x-\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)= 240x^3-120x^2 \\ F(x)=\int_{}^{}( 2x^6-2x^5)dx= \frac{2}{7}x^7-\frac{1}{3}x^6+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-0,134),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^6( 2-\dfrac{2}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot \infty^6]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot (-\infty)^6]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=2\cdot (-x)^{6}-2\cdot (-x)^{5} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 2x^6-2x^5 = 0 \\ x^5( 2x-2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2x-2=0\\ 2 x-2 =0 \qquad /+2 \\ 2 x= 2 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{2}{2}\\ x=1 \\ \underline{x_1=0; \quad5\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 12x^5-10x^4 = 0 \\ x^4( 12x-10)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 12x-10=0\\ 12 x-10 =0 \qquad /+10 \\ 12 x= 10 \qquad /:12 \\ x=\displaystyle\frac{10}{12}\\ x=\frac{5}{6} \\ \underline{x_3=0; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=\frac{5}{6}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (0/0)} \\ f''(\frac{5}{6})=5,79>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (\frac{5}{6}/-0,134)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&\frac{5}{6}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{5}{6};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\frac{5}{6}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 60x^4-40x^3 = 0 \\ x^3( 60x-40)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 60x-40=0\\ 60 x-40 =0 \qquad /+40 \\ 60 x= 40 \qquad /:60 \\ x=\displaystyle\frac{40}{60}\\ x=\frac{2}{3} \\ \underline{x_5=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(\frac{2}{3})=-0,0878\\ f'''(\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (\frac{2}{3}/-0,0878)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\frac{2}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{1}\left( 2x^6-2x^5\right)dx=\left[ \frac{2}{7}x^7-\frac{1}{3}x^6\right]_{0}^{1} \\ =\left(\frac{2}{7}\cdot 1^{7}-\frac{1}{3}\cdot 1^{6}\right)-\left(\frac{2}{7}\cdot 0^{7}-\frac{1}{3}\cdot 0^{6}\right) \\ =\left(-\frac{1}{21}\right)-\left(0\right)=-\frac{1}{21} \\ \\ $