Beispiel Nr: 15
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^6+2x^5-1x^4 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^6+2x^5-1x^4=-1x^4(x-1)^2\\ f'\left(x\right)=-6x^5+10x^4-4x^3=-6x^3(x-\frac{2}{3})(x-1)\\ f''\left(x\right)=-30x^4+40x^3-12x^2=-30x^2(x-0,456)(x-0,877)\\ f'''\left(x\right)=-120x^3+120x^2-24x \\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^6+2x^5-1x^4)dx=-\frac{1}{7}x^7+\frac{1}{3}x^6-\frac{1}{5}x^5+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,0] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^6(-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^6]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^6]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{6}+2\cdot (-x)^{5}-1\cdot (-x)^{4} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^6+2x^5-1x^4 = 0 \\ x^4(-1x^2+2x-1)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1x^2+2x-1=0\\ \\ -1x^{2}+2x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \left(-1\right)}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{-2} \\ x_{1}=1 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_1=0; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-6x^5+10x^4-4x^3 = 0 \\ x^3(-6x^2+10x-4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-6x^2+10x-4=0\\ \\ -6x^{2}+10x-4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-10 \pm\sqrt{10^{2}-4\cdot \left(-6\right) \cdot \left(-4\right)}}{2\cdot\left(-6\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-10 \pm\sqrt{4}}{-12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-10 \pm2}{-12} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-10 +2}{-12} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-10 -2}{-12} \\ x_{1}=\frac{2}{3} \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_3=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Extremwert:} (0/0}) \\ f''(\frac{2}{3})=\frac{16}{27}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (\frac{2}{3}/-0,0219)} \\ f''(1)=-2 \\ f''(1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&\frac{2}{3}&< x <&1&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]\frac{2}{3};1[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\frac{2}{3}[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-30x^4+40x^3-12x^2 = 0 \\ x^2(-30x^2+40x-12)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-30x^2+40x-12=0\\ \\ -30x^{2}+40x-12 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-40 \pm\sqrt{40^{2}-4\cdot \left(-30\right) \cdot \left(-12\right)}}{2\cdot\left(-30\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-40 \pm\sqrt{160}}{-60} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-40 \pm12,6}{-60} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-40 +12,6}{-60} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-40 -12,6}{-60} \\ x_{1}=0,456 \qquad x_{2}=0,877 \\ \underline{x_6=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=0,456; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,877; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0,456)=-0,0128\\ f'''(0,456) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,456/-0,0128)}\\ f'''(0,877)=-0,0089\\ f'''(0,877) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,877/-0,0089)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&0,456&< x <&0,877&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0,456;0,877[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;0,456[\quad \cup \quad]0,877;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{1}\left(-1x^6+2x^5-1x^4\right)dx=\left[-\frac{1}{7}x^7+\frac{1}{3}x^6-\frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{1} \\ =\left(-\frac{1}{7}\cdot 1^{7}+\frac{1}{3}\cdot 1^{6}-\frac{1}{5}\cdot 1^{5}\right)-\left(-\frac{1}{7}\cdot 0^{7}+\frac{1}{3}\cdot 0^{6}-\frac{1}{5}\cdot 0^{5}\right) \\ =\left(-0,00952\right)-\left(0\right)=-0,00952 \\ \\ $