Beispiel Nr: 16
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^6-3x^4+3x^2-1 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^6-3x^4+3x^2-1=(x+1)^3(x-1)^3\\ f'\left(x\right)= 6x^5-12x^3+6x=6(x+1)^2x(x-1)^2\\ f''\left(x\right)= 30x^4-36x^2+6=30(x+1)(x+0,447)(x-0,447)(x-1)\\ f'''\left(x\right)= 120x^3-72x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^6-3x^4+3x^2-1)dx= \frac{1}{7}x^7-\frac{3}{5}x^5+x^3-1x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^6( 1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{3}{x^4}-\dfrac{1}{x^6}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^6]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^6]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{6}-3\cdot (-x)^{4}+3\cdot (-x)^{2}-1 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{6}-3\cdot x^{4}+3\cdot x^{2}-1 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^6-3x^4+3x^2-1 = 0 \\ \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-1; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 6x^5-12x^3+6x = 0 \\ x( 6x^4-12x^2+6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 6x^4-12x^2+6=0\\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 6u^{2}-12u+6 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+12 \pm\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\cdot 6 \cdot 6}}{2\cdot6} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+12 \pm\sqrt{0}}{12} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{12 \pm0}{12} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{12 +0}{12} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{12 -0}{12} \\ u_{1}=1 \qquad u_{2}=1 \\ x^2= 1 \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ x^2= 1 \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=0 \\ f''(-1)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (-1/0)} \\ f''(0)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/-1)} \\ f''(1)=0 \\ f''(1)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (1/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 30x^4-36x^2+6 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 30u^{2}-36u+6 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+36 \pm\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\cdot 30 \cdot 6}}{2\cdot30} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+36 \pm\sqrt{576}}{60} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{36 \pm24}{60} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{36 +24}{60} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{36 -24}{60} \\ u_{1}=1 \qquad u_{2}=\frac{1}{5} \\ x^2= 1 \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ x^2= \frac{1}{5} \\ x=\pm\sqrt{\frac{1}{5}} \\ x_1=0,447 \qquad x_2=-0,447 \\ \underline{x_6=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=-0,447; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,447; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1)=0\\ f'''(-1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1/0)}\\ f'''(-0,447)=-0,512\\ f'''(-0,447) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,447/-0,512)}\\ f'''(0,447)=-0,512\\ f'''(0,447) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,447/-0,512)}\\ f'''(1)=0\\ f'''(1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1/0)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&-0,447&< x <&0,447&< x <&1&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-0,447;0,447[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;-0,447[\quad \cup \quad]0,447;1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{1}\left( x^6-3x^4+3x^2-1\right)dx=\left[ \frac{1}{7}x^7-\frac{3}{5}x^5+x^3-1x\right]_{-1}^{1} \\ =\left(\frac{1}{7}\cdot 1^{7}-\frac{3}{5}\cdot 1^{5}+1\cdot 1^{3}-1\cdot 1\right)-\left(\frac{1}{7}\cdot (-1)^{7}-\frac{3}{5}\cdot (-1)^{5}+1\cdot (-1)^{3}-1\cdot (-1)\right) \\ =\left(-\frac{16}{35}\right)-\left(\frac{16}{35}\right)=-\frac{32}{35} \\ \\ $