Beispiel Nr: 17
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^6-12x^4+48x^2-64 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^6-12x^4+48x^2-64=(x+2)^3(x-2)^3\\ f'\left(x\right)= 6x^5-48x^3+96x=6(x+2)^2x(x-2)^2\\ f''\left(x\right)= 30x^4-144x^2+96=30(x+2)(x+0,894)(x-0,894)(x-2)\\ f'''\left(x\right)= 120x^3-288x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^6-12x^4+48x^2-64)dx= \frac{1}{7}x^7-2\frac{2}{5}x^5+16x^3-64x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-64),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^6( 1-\dfrac{12}{x^2}+\dfrac{48}{x^4}-\dfrac{64}{x^6}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^6]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^6]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{6}-12\cdot (-x)^{4}+48\cdot (-x)^{2}-64 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{6}-12\cdot x^{4}+48\cdot x^{2}-64 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^6-12x^4+48x^2-64 = 0 \\ \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-2; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 6x^5-48x^3+96x = 0 \\ x( 6x^4-48x^2+96)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 6x^4-48x^2+96=0\\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 6u^{2}-48u+96 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+48 \pm\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\cdot 6 \cdot 96}}{2\cdot6} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+48 \pm\sqrt{0}}{12} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{48 \pm0}{12} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{48 +0}{12} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{48 -0}{12} \\ u_{1}=4 \qquad u_{2}=4 \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_3=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=0 \\ f''(-2)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (-2/0)} \\ f''(0)=96>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/-64)} \\ f''(2)=0 \\ f''(2)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Terrassenpukt:} (2/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 30x^4-144x^2+96 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 30u^{2}-144u+96 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+144 \pm\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\cdot 30 \cdot 96}}{2\cdot30} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+144 \pm\sqrt{9,22\cdot 10^{3}}}{60} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{144 \pm96}{60} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{144 +96}{60} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{144 -96}{60} \\ u_{1}=4 \qquad u_{2}=\frac{4}{5} \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ x^2= \frac{4}{5} \\ x=\pm\sqrt{\frac{4}{5}} \\ x_1=0,894 \qquad x_2=-0,894 \\ \underline{x_6=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=-0,894; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,894; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-2)=0\\ f'''(-2) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-2/0)}\\ f'''(-0,894)=-32,8\\ f'''(-0,894) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,894/-32,8)}\\ f'''(0,894)=-32,8\\ f'''(0,894) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,894/-32,8)}\\ f'''(2)=0\\ f'''(2) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2/0)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&-0,894&< x <&0,894&< x <&2&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-0,894;0,894[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;-0,894[\quad \cup \quad]0,894;2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{2}\left( x^6-12x^4+48x^2-64\right)dx=\left[ \frac{1}{7}x^7-2\frac{2}{5}x^5+16x^3-64x\right]_{-2}^{2} \\ =\left(\frac{1}{7}\cdot 2^{7}-2\frac{2}{5}\cdot 2^{5}+16\cdot 2^{3}-64\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{7}\cdot (-2)^{7}-2\frac{2}{5}\cdot (-2)^{5}+16\cdot (-2)^{3}-64\cdot (-2)\right) \\ =\left(-58\frac{18}{35}\right)-\left(58\frac{18}{35}\right)=-117\frac{1}{35} \\ \\ $