Beispiel Nr: 18
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^6+3x^5-4\frac{1}{2}x^4 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^6+3x^5-4\frac{1}{2}x^4=-\frac{1}{2}x^4(x-3)^2\\ f'\left(x\right)=-3x^5+15x^4-18x^3=-3x^3(x-2)(x-3)\\ f''\left(x\right)=-15x^4+60x^3-54x^2=-15x^2(x-1,37)(x-2,63)\\ f'''\left(x\right)=-60x^3+180x^2-108x \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{2}x^6+3x^5-4\frac{1}{2}x^4)dx=-\frac{1}{14}x^7+\frac{1}{2}x^6-\frac{9}{10}x^5+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,0] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^6(-\frac{1}{2}+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4\frac{1}{2}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot \infty^6]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^6]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{6}+3\cdot (-x)^{5}-4\frac{1}{2}\cdot (-x)^{4} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{2}x^6+3x^5-4\frac{1}{2}x^4 = 0 \\ x^4(-\frac{1}{2}x^2+3x-4\frac{1}{2})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-\frac{1}{2}x^2+3x-4\frac{1}{2}=0\\ \\ -\frac{1}{2}x^{2}+3x-4\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-3 \pm\sqrt{3^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-4\frac{1}{2}\right)}}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm\sqrt{0}}{-1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm0}{-1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-3 +0}{-1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-3 -0}{-1} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=0; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-3x^5+15x^4-18x^3 = 0 \\ x^3(-3x^2+15x-18)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-3x^2+15x-18=0\\ \\ -3x^{2}+15x-18 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-15 \pm\sqrt{15^{2}-4\cdot \left(-3\right) \cdot \left(-18\right)}}{2\cdot\left(-3\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-15 \pm\sqrt{9}}{-6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-15 \pm3}{-6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-15 +3}{-6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-15 -3}{-6} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_3=0; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=0 \\ f''(0)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Extremwert:} (0/0}) \\ f''(2)=24>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/-8)} \\ f''(3)=-81 \\ f''(3)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (3/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-15x^4+60x^3-54x^2 = 0 \\ x^2(-15x^2+60x-54)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-15x^2+60x-54=0\\ \\ -15x^{2}+60x-54 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-60 \pm\sqrt{60^{2}-4\cdot \left(-15\right) \cdot \left(-54\right)}}{2\cdot\left(-15\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-60 \pm\sqrt{360}}{-30} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-60 \pm19}{-30} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-60 +19}{-30} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-60 -19}{-30} \\ x_{1}=1,37 \qquad x_{2}=2,63 \\ \underline{x_6=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,37; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=2,63; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1,37)=-4,66\\ f'''(1,37) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,37/-4,66)}\\ f'''(2,63)=-3,24\\ f'''(2,63) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2,63/-3,24)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1,37&< x <&2,63&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1,37;2,63[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;1,37[\quad \cup \quad]2,63;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left(-\frac{1}{2}x^6+3x^5-4\frac{1}{2}x^4\right)dx=\left[-\frac{1}{14}x^7+\frac{1}{2}x^6-\frac{9}{10}x^5\right]_{0}^{3} \\ =\left(-\frac{1}{14}\cdot 3^{7}+\frac{1}{2}\cdot 3^{6}-\frac{9}{10}\cdot 3^{5}\right)-\left(-\frac{1}{14}\cdot 0^{7}+\frac{1}{2}\cdot 0^{6}-\frac{9}{10}\cdot 0^{5}\right) \\ =\left(-10\frac{29}{70}\right)-\left(0\right)=-10\frac{29}{70} \\ \\ $