Beispiel Nr: 19
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-1x^4+3x^3-4x \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-1x^4+3x^3-4x=-1(x+1)x(x-2)^2\\ f'\left(x\right)=-4x^3+9x^2-4=-4(x+0,593)(x-0,843)(x-2)\\ f''\left(x\right)=-12x^2+18x=-12x(x-1\frac{1}{2})\\ f'''\left(x\right)=-24x+18 \\ F(x)=\int_{}^{}(-1x^4+3x^3-4x)dx=-\frac{1}{5}x^5+\frac{3}{4}x^4-2x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,1,62] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4(-1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot \infty^4]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-1\cdot (-\infty)^4]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-1\cdot (-x)^{4}+3\cdot (-x)^{3}-4\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-1x^4+3x^3-4x = 0 \\ x(-1x^3+3x^2-4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-1x^3+3x^2-4=0\\-1x^3+3x^2-4=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-1x^3&+3x^2&&-4&):( x +1 )=-1x^2 +4x -4 \\ \,-(-1x^3&-1x^2) \\ \hline & 4x^2&&-4&\\ &-( 4x^2&+4x) \\ \hline &&-4x&-4&\\ &&-(-4x&-4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -1x^{2}+4x-4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \left(-4\right)}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{0}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm0}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +0}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -0}{-2} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-4x^3+9x^2-4 = 0 \\ \\-4x^3+9x^2-4=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}2\\ \,\small \begin{matrix} (-4x^3&+9x^2&&-4&):( x -2 )=-4x^2 +x +2 \\ \,-(-4x^3&+8x^2) \\ \hline & x^2&&-4&\\ &-( x^2&-2x) \\ \hline && 2x&-4&\\ &&-( 2x&-4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -4x^{2}+1x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-1 \pm\sqrt{1^{2}-4\cdot \left(-4\right) \cdot 2}}{2\cdot\left(-4\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm\sqrt{33}}{-8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-1 \pm5,74}{-8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-1 +5,74}{-8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-1 -5,74}{-8} \\ x_{1}=-0,593 \qquad x_{2}=0,843 \\ \underline{x_4=-0,593; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0,843; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,593)=-14,9 \\ f''(-0,593)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,593/1,62)} \\ f''(0,843)=6,65>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0,843/-2,08)} \\ f''(2)=-12 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,593&< x <&0,843&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,593[\quad \cup \quad]0,843;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,593;0,843[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-12x^2+18x = 0 \\ x(-12x+18)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-12x+18=0\\ -12 x+18 =0 \qquad /-18 \\ -12 x= -18 \qquad /:\left(-12\right) \\ x=\displaystyle\frac{-18}{-12}\\ x=1\frac{1}{2} \\ \underline{x_7=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=1\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ f'''(1\frac{1}{2})=-\frac{15}{16}\\ f'''(1\frac{1}{2}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1\frac{1}{2}/-\frac{15}{16})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&1\frac{1}{2}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;1\frac{1}{2}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]1\frac{1}{2};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left(-1x^4+3x^3-4x\right)dx=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{3}{4}x^4-2x^2\right]_{-1}^{0} \\ =\left(-\frac{1}{5}\cdot 0^{5}+\frac{3}{4}\cdot 0^{4}-2\cdot 0^{2}\right)-\left(-\frac{1}{5}\cdot (-1)^{5}+\frac{3}{4}\cdot (-1)^{4}-2\cdot (-1)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-1\frac{1}{20}\right)=1\frac{1}{20} \\ A=\int_{0}^{2}\left(-1x^4+3x^3-4x\right)dx=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{3}{4}x^4-2x^2\right]_{0}^{2} \\ =\left(-\frac{1}{5}\cdot 2^{5}+\frac{3}{4}\cdot 2^{4}-2\cdot 2^{2}\right)-\left(-\frac{1}{5}\cdot 0^{5}+\frac{3}{4}\cdot 0^{4}-2\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-2\frac{2}{5}\right)-\left(0\right)=-2\frac{2}{5} \\ \\ $