Beispiel Nr: 20
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 4x^4+5x^3-6x^2 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 4x^4+5x^3-6x^2=4(x+2)x^2(x-\frac{3}{4})\\ f'\left(x\right)= 16x^3+15x^2-12x=16(x+1,45)x(x-0,516)\\ f''\left(x\right)= 48x^2+30x-12=48(x+0,902)(x-0,277)\\ f'''\left(x\right)= 96x+30 \\ F(x)=\int_{}^{}( 4x^4+5x^3-6x^2)dx= \frac{4}{5}x^5+1\frac{1}{4}x^4-2x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-10,2),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 4+\dfrac{5}{x}-\dfrac{6}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[4\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=4\cdot (-x)^{4}+5\cdot (-x)^{3}-6\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 4x^4+5x^3-6x^2 = 0 \\ x^2( 4x^2+5x-6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2+5x-6=0\\ \\ 4x^{2}+5x-6 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-5 \pm\sqrt{5^{2}-4\cdot 4 \cdot \left(-6\right)}}{2\cdot4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm\sqrt{121}}{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm11}{8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-5 +11}{8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-5 -11}{8} \\ x_{1}=\frac{3}{4} \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=\frac{3}{4}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x <&\frac{3}{4}&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]\frac{3}{4};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad \cup \quad]0;\frac{3}{4}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 16x^3+15x^2-12x = 0 \\ x( 16x^2+15x-12)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 16x^2+15x-12=0\\ \\ 16x^{2}+15x-12 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-15 \pm\sqrt{15^{2}-4\cdot 16 \cdot \left(-12\right)}}{2\cdot16} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-15 \pm\sqrt{993}}{32} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-15 \pm31,5}{32} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-15 +31,5}{32} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-15 -31,5}{32} \\ x_{1}=0,516 \qquad x_{2}=-1,45 \\ \underline{x_4=-1,45; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0,516; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,45)=45,8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1,45/-10,2)} \\ f''(0)=-12 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/0)} \\ f''(0,516)=16,3>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0,516/-0,627)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,45&< x <&0&< x <&0,516&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,45;0[\quad \cup \quad]0,516;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,45[\quad \cup \quad]0;0,516[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 48x^2+30x-12 = 0 \\ \\ \\ 48x^{2}+30x-12 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-30 \pm\sqrt{30^{2}-4\cdot 48 \cdot \left(-12\right)}}{2\cdot48} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-30 \pm\sqrt{3,2\cdot 10^{3}}}{96} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-30 \pm56,6}{96} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-30 +56,6}{96} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-30 -56,6}{96} \\ x_{1}=0,277 \qquad x_{2}=-0,902 \\ \underline{x_7=-0,902; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,277; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,902)=-5,9\\ f'''(-0,902) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,902/-5,9)}\\ f'''(0,277)=-0,331\\ f'''(0,277) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,277/-0,331)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,902&< x <&0,277&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,902[\quad \cup \quad]0,277;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,902;0,277[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{0}\left( 4x^4+5x^3-6x^2\right)dx=\left[ \frac{4}{5}x^5+1\frac{1}{4}x^4-2x^3\right]_{-2}^{0} \\ =\left(\frac{4}{5}\cdot 0^{5}+1\frac{1}{4}\cdot 0^{4}-2\cdot 0^{3}\right)-\left(\frac{4}{5}\cdot (-2)^{5}+1\frac{1}{4}\cdot (-2)^{4}-2\cdot (-2)^{3}\right) \\ =\left(0\right)-\left(10\frac{2}{5}\right)=-10\frac{2}{5} \\ A=\int_{0}^{\frac{3}{4}}\left( 4x^4+5x^3-6x^2\right)dx=\left[ \frac{4}{5}x^5+1\frac{1}{4}x^4-2x^3\right]_{0}^{\frac{3}{4}} \\ =\left(\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}^{5}+1\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}^{4}-2\cdot \frac{3}{4}^{3}\right)-\left(\frac{4}{5}\cdot 0^{5}+1\frac{1}{4}\cdot 0^{4}-2\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(-0,258\right)-\left(0\right)=-0,258 \\ \\ $