Beispiel Nr: 21
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-2x^2+1 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-2x^2+1=(x+1)^2(x-1)^2\\ f'\left(x\right)= 4x^3-4x=4(x+1)x(x-1)\\ f''\left(x\right)= 12x^2-4=12(x+0,577)(x-0,577)\\ f'''\left(x\right)= 24x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-2x^2+1)dx= \frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [0,\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-2\cdot (-x)^{2}+1 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{4}-2\cdot x^{2}+1 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-2x^2+1 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 1u^{2}-2u+1 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{2 \pm0}{2} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{2 +0}{2} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{2 -0}{2} \\ u_{1}=1 \qquad u_{2}=1 \\ x^2= 1 \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ x^2= 1 \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3-4x = 0 \\ x( 4x^2-4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2-4=0\\ 4x^2-4 =0 \qquad /+4 \\ 4x^2= 4 \qquad /:4 \\ x^2=\displaystyle\frac{4}{4} \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1)=8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-1/0)} \\ f''(0)=-4 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/1)} \\ f''(1)=8>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2-4 = 0 \\ \\ 12x^2-4 =0 \qquad /+4 \\ 12x^2= 4 \qquad /:12 \\ x^2=\displaystyle\frac{4}{12} \\ x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}} \\ x_1=0,577 \qquad x_2=-0,577 \\ \underline{x_6=-0,577; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=0,577; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,577)=\frac{4}{9}\\ f'''(-0,577) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,577/\frac{4}{9})}\\ f'''(0,577)=\frac{4}{9}\\ f'''(0,577) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,577/\frac{4}{9})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,577&< x <&0,577&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,577[\quad \cup \quad]0,577;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,577;0,577[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{1}\left( x^4-2x^2+1\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x\right]_{-1}^{1} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 1^{5}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3}+1\cdot 1\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-1)^{5}-\frac{2}{3}\cdot (-1)^{3}+1\cdot (-1)\right) \\ =\left(\frac{8}{15}\right)-\left(-\frac{8}{15}\right)=1\frac{1}{15} \\ \\ $