Beispiel Nr: 22
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4+2x^2+1 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4+2x^2+1\\ f'\left(x\right)= 4x^3+4x=4x(x^2+1)\\ f''\left(x\right)= 12x^2+4=12(x^2+\frac{1}{3})\\ f'''\left(x\right)= 24x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4+2x^2+1)dx= \frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}x^3+x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [1,\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}+2\cdot (-x)^{2}+1 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{4}+2\cdot x^{2}+1 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4+2x^2+1 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 1u^{2}+2u+1 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ u_{1}=-1 \qquad u_{2}=-1 \\ x^2= -1 x=\pm\sqrt{-1} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ x^2= -1 x=\pm\sqrt{-1} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3+4x = 0 \\ x( 4x^2+4)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2+4=0\\ 4x^2+4 =0 \qquad /-4 \\ 4x^2= -4 \qquad /:4 \\ x^2=\displaystyle\frac{-4}{4}\\ \text{keine Lösung} \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/1)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2+4 = 0 \\ \\ 12x^2+4 =0 \qquad /-4 \\ 12x^2= -4 \qquad /:12 \\ x^2=\displaystyle\frac{-4}{12}\\ \text{keine Lösung} \\ \bullet\text{Kruemmung} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f''(x)>0\quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $