Beispiel Nr: 23
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4-13x^2+36 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4-13x^2+36=(x+3)(x+2)(x-2)(x-3)\\ f'\left(x\right)= 4x^3-26x=4(x+2,55)x(x-2,55)\\ f''\left(x\right)= 12x^2-26=12(x+1,47)(x-1,47)\\ f'''\left(x\right)= 24x \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4-13x^2+36)dx= \frac{1}{5}x^5-4\frac{1}{3}x^3+36x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-6\frac{1}{4}),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1-\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{36}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}-13\cdot (-x)^{2}+36 \\ f\left(-x\right)=1\cdot x^{4}-13\cdot x^{2}+36 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4-13x^2+36 = 0 \\ \\ \\ u=x^{2} \qquad u^2=x^{4} \\ 1u^{2}-13u+36 =0 \\ \\ u_{1/2}=\displaystyle\frac{+13 \pm\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot1} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{+13 \pm\sqrt{25}}{2} \\ u_{1/2}=\displaystyle \frac{13 \pm5}{2} \\ u_{1}=\displaystyle \frac{13 +5}{2} \qquad u_{2}=\displaystyle \frac{13 -5}{2} \\ u_{1}=9 \qquad u_{2}=4 \\ x^2= 9 \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \\ x^2= 4 \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-2&< x <&2&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-2;2[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;-2[\quad \cup \quad]2;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3-26x = 0 \\ x( 4x^2-26)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 4x^2-26=0\\ 4x^2-26 =0 \qquad /+26 \\ 4x^2= 26 \qquad /:4 \\ x^2=\displaystyle\frac{26}{4} \\ x=\pm\sqrt{6\frac{1}{2}} \\ x_1=2,55 \qquad x_2=-2,55 \\ \underline{x_5=-2,55; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=2,55; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,55)=52>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2,55/-6\frac{1}{4})} \\ f''(0)=-26 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/36)} \\ f''(2,55)=52>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,55/-6\frac{1}{4})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,55&< x <&0&< x <&2,55&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,55;0[\quad \cup \quad]2,55;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,55[\quad \cup \quad]0;2,55[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2-26 = 0 \\ \\ 12x^2-26 =0 \qquad /+26 \\ 12x^2= 26 \qquad /:12 \\ x^2=\displaystyle\frac{26}{12} \\ x=\pm\sqrt{2\frac{1}{6}} \\ x_1=1,47 \qquad x_2=-1,47 \\ \underline{x_8=-1,47; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=1,47; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,47)=12\frac{19}{36}\\ f'''(-1,47) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,47/12\frac{19}{36})}\\ f'''(1,47)=12\frac{19}{36}\\ f'''(1,47) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1,47/12\frac{19}{36})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,47&< x <&1,47&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,47[\quad \cup \quad]1,47;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,47;1,47[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{-2}\left( x^4-13x^2+36\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-4\frac{1}{3}x^3+36x\right]_{-3}^{-2} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot (-2)^{5}-4\frac{1}{3}\cdot (-2)^{3}+36\cdot (-2)\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-3)^{5}-4\frac{1}{3}\cdot (-3)^{3}+36\cdot (-3)\right) \\ =\left(-43\frac{11}{15}\right)-\left(-39\frac{3}{5}\right)=-4\frac{2}{15} \\ A=\int_{-2}^{2}\left( x^4-13x^2+36\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-4\frac{1}{3}x^3+36x\right]_{-2}^{2} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 2^{5}-4\frac{1}{3}\cdot 2^{3}+36\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-2)^{5}-4\frac{1}{3}\cdot (-2)^{3}+36\cdot (-2)\right) \\ =\left(43\frac{11}{15}\right)-\left(-43\frac{11}{15}\right)=87\frac{7}{15} \\ A=\int_{2}^{3}\left( x^4-13x^2+36\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5-4\frac{1}{3}x^3+36x\right]_{2}^{3} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 3^{5}-4\frac{1}{3}\cdot 3^{3}+36\cdot 3\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot 2^{5}-4\frac{1}{3}\cdot 2^{3}+36\cdot 2\right) \\ =\left(39\frac{3}{5}\right)-\left(43\frac{11}{15}\right)=-4\frac{2}{15} \\ \\ $