Beispiel Nr: 24
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^4+x^3-7x^2-1x+7 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^4+x^3-7x^2-1x+7=(x+2,97)(x+1,08)(x-1,13)(x-1,92)\\ f'\left(x\right)= 4x^3+3x^2-14x-1=4(x+2,25)(x+0,0705)(x-1,57)\\ f''\left(x\right)= 12x^2+6x-14=12(x+1,36)(x-0,859)\\ f'''\left(x\right)= 24x+6 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^4+x^3-7x^2-1x+7)dx= \frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4}x^4-2\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+7x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-11,9),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 1+x-\dfrac{7}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{7}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{4}+1\cdot (-x)^{3}-7\cdot (-x)^{2}-1\cdot (-x)+7 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^4+x^3-7x^2-1x+7 = 0 \\ \\ x^4+x^3-7x^2-1x+7\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_1=-2,97; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1,08; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=1,13; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=1,92; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,97&< x <&-1,08&< x <&1,13&< x <&1,92&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,97[\quad \cup \quad]-1,08;1,13[\quad \cup \quad]1,92;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,97;-1,08[\quad \cup \quad]1,13;1,92[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 4x^3+3x^2-14x-1 = 0 \\ \\ 4x^3+3x^2-14x-1=0\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_5=-2,25; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=-0,0705; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,57; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,25)=33,4>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2,25/-11,9)} \\ f''(-0,0705)=-14,4 \\ f''(-0,0705)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,0705/7,04)} \\ f''(1,57)=25,2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1,57/-1,88)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,25&< x <&-0,0705&< x <&1,57&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,25;-0,0705[\quad \cup \quad]1,57;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,25[\quad \cup \quad]-0,0705;1,57[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 12x^2+6x-14 = 0 \\ \\ \\ 12x^{2}+6x-14 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 12 \cdot \left(-14\right)}}{2\cdot12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{708}}{24} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm26,6}{24} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-6 +26,6}{24} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-6 -26,6}{24} \\ x_{1}=0,859 \qquad x_{2}=-1,36 \\ \underline{x_8=-1,36; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=0,859; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1,36)=-3,66\\ f'''(-1,36) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1,36/-3,66)}\\ f'''(0,859)=2,16\\ f'''(0,859) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0,859/2,16)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,36&< x <&0,859&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,36[\quad \cup \quad]0,859;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,36;0,859[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2,97}^{-1,08}\left( x^4+x^3-7x^2-1x+7\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4}x^4-2\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+7x\right]_{-2,97}^{-1,08} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot (-1,08)^{5}+\frac{1}{4}\cdot (-1,08)^{4}-2\frac{1}{3}\cdot (-1,08)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-1,08)^{2}+7\cdot (-1,08)\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-2,97)^{5}+\frac{1}{4}\cdot (-2,97)^{4}-2\frac{1}{3}\cdot (-2,97)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-2,97)^{2}+7\cdot (-2,97)\right) \\ =\left(-5,16\right)-\left(9,16\right)=-14,3 \\ A=\int_{-1,08}^{1,13}\left( x^4+x^3-7x^2-1x+7\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4}x^4-2\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+7x\right]_{-1,08}^{1,13} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 1,13^{5}+\frac{1}{4}\cdot 1,13^{4}-2\frac{1}{3}\cdot 1,13^{3}-\frac{1}{2}\cdot 1,13^{2}+7\cdot 1,13\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot (-1,08)^{5}+\frac{1}{4}\cdot (-1,08)^{4}-2\frac{1}{3}\cdot (-1,08)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-1,08)^{2}+7\cdot (-1,08)\right) \\ =\left(4,68\right)-\left(-5,16\right)=9,84 \\ A=\int_{1,13}^{1,92}\left( x^4+x^3-7x^2-1x+7\right)dx=\left[ \frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4}x^4-2\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+7x\right]_{1,13}^{1,92} \\ =\left(\frac{1}{5}\cdot 1,92^{5}+\frac{1}{4}\cdot 1,92^{4}-2\frac{1}{3}\cdot 1,92^{3}-\frac{1}{2}\cdot 1,92^{2}+7\cdot 1,92\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot 1,13^{5}+\frac{1}{4}\cdot 1,13^{4}-2\frac{1}{3}\cdot 1,13^{3}-\frac{1}{2}\cdot 1,13^{2}+7\cdot 1,13\right) \\ =\left(3,7\right)-\left(4,68\right)=-0,984 \\ \\ $