Beispiel Nr: 25
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 4\frac{1}{2}x^3+3x^2-10x-12 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 4\frac{1}{2}x^3+3x^2-10x-12=4\frac{1}{2}(x^2+2,32x+1,61)(x-1,65)\\ f'\left(x\right)= 13\frac{1}{2}x^2+6x-10=13\frac{1}{2}(x+1\frac{1}{9})(x-\frac{2}{3})\\ f''\left(x\right)= 27x+6=27(x+\frac{2}{9})\\ f'''\left(x\right)= 27 \\ F(x)=\int_{}^{}( 4\frac{1}{2}x^3+3x^2-10x-12)dx= 1\frac{1}{8}x^4+x^3-5x^2-12x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 4\frac{1}{2}+\dfrac{3}{x}-\dfrac{10}{x^2}-\dfrac{12}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[4\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[4\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=4\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}+3\cdot (-x)^{2}-10\cdot (-x)-12 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 4\frac{1}{2}x^3+3x^2-10x-12 = 0 \\ \\ 4\frac{1}{2}x^3+3x^2-10x-12=0\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=1,65; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1,65&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1,65;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1,65[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 13\frac{1}{2}x^2+6x-10 = 0 \\ \\ \\ 13\frac{1}{2}x^{2}+6x-10 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4\cdot 13\frac{1}{2} \cdot \left(-10\right)}}{2\cdot13\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{576}}{27} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm24}{27} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-6 +24}{27} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-6 -24}{27} \\ x_{1}=\frac{2}{3} \qquad x_{2}=-1\frac{1}{9} \\ \underline{x_2=-1\frac{1}{9}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1\frac{1}{9})=-24 \\ f''(-1\frac{1}{9})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1\frac{1}{9}/-3\frac{29}{81})} \\ f''(\frac{2}{3})=24>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (\frac{2}{3}/-16)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{1}{9}&< x <&\frac{2}{3}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{1}{9}[\quad \cup \quad]\frac{2}{3};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{1}{9};\frac{2}{3}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 27x+6 = 0 \\ \\ 27 x+6 =0 \qquad /-6 \\ 27 x= -6 \qquad /:27 \\ x=\displaystyle\frac{-6}{27}\\ x=-\frac{2}{9} \\ \underline{x_4=-\frac{2}{9}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{2}{9})=-9\frac{55}{81}\\ f'''(-\frac{2}{9}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{2}{9}/-9\frac{55}{81})}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{2}{9}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{2}{9};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{2}{9}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $