Beispiel Nr: 26
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 2x^4+24x^3+18x^2+124x-48 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 2x^4+24x^3+18x^2+124x-48=2(x^2+0,66x+5,71)(x+11,7)(x-0,359)\\ f'\left(x\right)= 8x^3+72x^2+36x+124=8(x^2+0,313x+1,78)(x+8,69)\\ f''\left(x\right)= 24x^2+144x+36=24(x+5,74)(x+0,261)\\ f'''\left(x\right)= 48x+144 \\ F(x)=\int_{}^{}( 2x^4+24x^3+18x^2+124x-48)dx= \frac{2}{5}x^5+6x^4+6x^3+62x^2-48x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-4,11\cdot 10^{3)},\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4( 2+\dfrac{24}{x}+\dfrac{18}{x^2}+\dfrac{124}{x^3}-\dfrac{48}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot \infty^4]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[2\cdot (-\infty)^4]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=2\cdot (-x)^{4}+24\cdot (-x)^{3}+18\cdot (-x)^{2}+124\cdot (-x)-48 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 2x^4+24x^3+18x^2+124x-48 = 0 \\ \\ 2x^4+24x^3+18x^2+124x-48\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_1=-11,7; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0,359; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-11,7&< x <&0,359&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-11,7[\quad \cup \quad]0,359;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-11,7;0,359[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 8x^3+72x^2+36x+124 = 0 \\ \\ 8x^3+72x^2+36x+124=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_3=-8,69; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-8,69)=596>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-8,69/-4,11\cdot 10^{3})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-8,69&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-8,69;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-8,69[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 24x^2+144x+36 = 0 \\ \\ \\ 24x^{2}+144x+36 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-144 \pm\sqrt{144^{2}-4\cdot 24 \cdot 36}}{2\cdot24} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-144 \pm\sqrt{1,73\cdot 10^{4}}}{48} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-144 \pm131}{48} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-144 +131}{48} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-144 -131}{48} \\ x_{1}=-0,261 \qquad x_{2}=-5,74 \\ \underline{x_4=-5,74; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=-0,261; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-5,74)=-2,53\cdot 10^{3}\\ f'''(-5,74) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-5,74/-2,53\cdot 10^{3})}\\ f'''(-0,261)=-79,6\\ f'''(-0,261) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,261/-79,6)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5,74&< x <&-0,261&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5,74[\quad \cup \quad]-0,261;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5,74;-0,261[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-11,7}^{0,359}\left( 2x^4+24x^3+18x^2+124x-48\right)dx=\left[ \frac{2}{5}x^5+6x^4+6x^3+62x^2-48x\right]_{-11,7}^{0,359} \\ =\left(\frac{2}{5}\cdot 0,359^{5}+6\cdot 0,359^{4}+6\cdot 0,359^{3}+62\cdot 0,359^{2}-48\cdot 0,359\right)-\left(\frac{2}{5}\cdot (-11,7)^{5}+6\cdot (-11,7)^{4}+6\cdot (-11,7)^{3}+62\cdot (-11,7)^{2}-48\cdot (-11,7)\right) \\ =\left(-8,86\right)-\left(2,42\cdot 10^{4}\right)=-2,42\cdot 10^{4} \\ \\ $