Beispiel Nr: 29
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-2x^3+6x^2 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-2x^3+6x^2=-2x^2(x-3)\\ f'\left(x\right)=-6x^2+12x=-6x(x-2)\\ f''\left(x\right)=-12x+12=-12(x-1)\\ f'''\left(x\right)=-12 \\ F(x)=\int_{}^{}(-2x^3+6x^2)dx=-\frac{1}{2}x^4+2x^3+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-2+\dfrac{6}{x}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-2\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-2\cdot (-x)^{3}+6\cdot (-x)^{2} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-2x^3+6x^2 = 0 \\ x^2(-2x+6)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-2x+6=0\\ -2 x+6 =0 \qquad /-6 \\ -2 x= -6 \qquad /:\left(-2\right) \\ x=\displaystyle\frac{-6}{-2}\\ x=3 \\ \underline{x_1=0; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;3[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-6x^2+12x = 0 \\ x(-6x+12)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad-6x+12=0\\ -6 x+12 =0 \qquad /-12 \\ -6 x= -12 \qquad /:\left(-6\right) \\ x=\displaystyle\frac{-12}{-6}\\ x=2 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=12>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (0/0)} \\ f''(2)=-12 \\ f''(2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (2/8)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;2[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-12x+12 = 0 \\ \\ -12 x+12 =0 \qquad /-12 \\ -12 x= -12 \qquad /:\left(-12\right) \\ x=\displaystyle\frac{-12}{-12}\\ x=1 \\ \underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1)=4\\ f'''(1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1/4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left(-2x^3+6x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{2}x^4+2x^3\right]_{0}^{3} \\ =\left(-\frac{1}{2}\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{3}\right)-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^{4}+2\cdot 0^{3}\right) \\ =\left(13\frac{1}{2}\right)-\left(0\right)=13\frac{1}{2} \\ \\ $