Beispiel Nr: 30
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 5\frac{2}{5}x^3+27x^2+32\frac{2}{5}x \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 5\frac{2}{5}x^3+27x^2+32\frac{2}{5}x=5\frac{2}{5}(x+3)(x+2)x\\ f'\left(x\right)= 16\frac{1}{5}x^2+54x+32\frac{2}{5}=16\frac{1}{5}(x+2,55)(x+0,785)\\ f''\left(x\right)= 32\frac{2}{5}x+54=32\frac{2}{5}(x+1\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)= 32\frac{2}{5} \\ F(x)=\int_{}^{}( 5\frac{2}{5}x^3+27x^2+32\frac{2}{5}x)dx= 1\frac{7}{20}x^4+9x^3+16\frac{1}{5}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 5\frac{2}{5}+\dfrac{27}{x}+\dfrac{32\frac{2}{5}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[5\frac{2}{5}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[5\frac{2}{5}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=5\frac{2}{5}\cdot (-x)^{3}+27\cdot (-x)^{2}+32\frac{2}{5}\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 5\frac{2}{5}x^3+27x^2+32\frac{2}{5}x = 0 \\ x( 5\frac{2}{5}x^2+27x+32\frac{2}{5})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 5\frac{2}{5}x^2+27x+32\frac{2}{5}=0\\ \\ 5\frac{2}{5}x^{2}+27x+32\frac{2}{5} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-27 \pm\sqrt{27^{2}-4\cdot 5\frac{2}{5} \cdot 32\frac{2}{5}}}{2\cdot5\frac{2}{5}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-27 \pm\sqrt{29\frac{4}{25}}}{10\frac{4}{5}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-27 \pm5\frac{2}{5}}{10\frac{4}{5}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-27 +5\frac{2}{5}}{10\frac{4}{5}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-27 -5\frac{2}{5}}{10\frac{4}{5}} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-3 \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-2&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;-2[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-2;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 16\frac{1}{5}x^2+54x+32\frac{2}{5} = 0 \\ \\ \\ 16\frac{1}{5}x^{2}+54x+32\frac{2}{5} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-54 \pm\sqrt{54^{2}-4\cdot 16\frac{1}{5} \cdot 32\frac{2}{5}}}{2\cdot16\frac{1}{5}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-54 \pm\sqrt{816\frac{12}{25}}}{32\frac{2}{5}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-54 \pm28,6}{32\frac{2}{5}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-54 +28,6}{32\frac{2}{5}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-54 -28,6}{32\frac{2}{5}} \\ x_{1}=-0,785 \qquad x_{2}=-2,55 \\ \underline{x_4=-2,55; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=-0,785; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,55)=-28,6 \\ f''(-2,55)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-2,55/3,41)} \\ f''(-0,785)=28,6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-0,785/-11,4)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,55&< x <&-0,785&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,55[\quad \cup \quad]-0,785;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,55;-0,785[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 32\frac{2}{5}x+54 = 0 \\ \\ 32\frac{2}{5} x+54 =0 \qquad /-54 \\ 32\frac{2}{5} x= -54 \qquad /:32\frac{2}{5} \\ x=\displaystyle\frac{-54}{32\frac{2}{5}}\\ x=-1\frac{2}{3} \\ \underline{x_6=-1\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1\frac{2}{3})=-4\\ f'''(-1\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1\frac{2}{3}/-4)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{2}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{-2}\left( 5\frac{2}{5}x^3+27x^2+32\frac{2}{5}x\right)dx=\left[ 1\frac{7}{20}x^4+9x^3+16\frac{1}{5}x^2\right]_{-3}^{-2} \\ =\left(1\frac{7}{20}\cdot (-2)^{4}+9\cdot (-2)^{3}+16\frac{1}{5}\cdot (-2)^{2}\right)-\left(1\frac{7}{20}\cdot (-3)^{4}+9\cdot (-3)^{3}+16\frac{1}{5}\cdot (-3)^{2}\right) \\ =\left(14\frac{2}{5}\right)-\left(12\frac{3}{20}\right)=2\frac{1}{4} \\ A=\int_{-2}^{0}\left( 5\frac{2}{5}x^3+27x^2+32\frac{2}{5}x\right)dx=\left[ 1\frac{7}{20}x^4+9x^3+16\frac{1}{5}x^2\right]_{-2}^{0} \\ =\left(1\frac{7}{20}\cdot 0^{4}+9\cdot 0^{3}+16\frac{1}{5}\cdot 0^{2}\right)-\left(1\frac{7}{20}\cdot (-2)^{4}+9\cdot (-2)^{3}+16\frac{1}{5}\cdot (-2)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(14\frac{2}{5}\right)=-14\frac{2}{5} \\ \\ $