Beispiel Nr: 31
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}(x+1)x(x-4)\\ f'\left(x\right)= x^2-2x-1\frac{1}{3}=(x+0,528)(x-2,53)\\ f''\left(x\right)= 2x-2=2(x-1)\\ f'''\left(x\right)= 2 \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x)dx= \frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{3}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1\frac{1}{3}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{3}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{3}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{3}\cdot (-x)^{3}-1\cdot (-x)^{2}-1\frac{1}{3}\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x = 0 \\ x( \frac{1}{3}x^2-1x-1\frac{1}{3})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{3}x^2-1x-1\frac{1}{3}=0\\ \\ \frac{1}{3}x^{2}-1x-1\frac{1}{3} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)}}{2\cdot\frac{1}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{2\frac{7}{9}}}{\frac{2}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm1\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +1\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -1\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} \\ x_{1}=4 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;4[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= x^2-2x-1\frac{1}{3} = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-2x-1\frac{1}{3} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{9\frac{1}{3}}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{2 \pm3,06}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{2 +3,06}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{2 -3,06}{2} \\ x_{1}=2,53 \qquad x_{2}=-0,528 \\ \underline{x_4=-0,528; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2,53; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,528)=-3,06 \\ f''(-0,528)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,528/0,376)} \\ f''(2,53)=3,06>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,53/-4,38)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,528&< x <&2,53&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,528[\quad \cup \quad]2,53;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,528;2,53[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 2x-2 = 0 \\ \\ 2 x-2 =0 \qquad /+2 \\ 2 x= 2 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{2}{2}\\ x=1 \\ \underline{x_6=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(1)=-2\\ f'''(1) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (1/-2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{0}\left( \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x\right)dx=\left[ \frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^2\right]_{-1}^{0} \\ =\left(\frac{1}{12}\cdot 0^{4}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-\frac{2}{3}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{12}\cdot (-1)^{4}-\frac{1}{3}\cdot (-1)^{3}-\frac{2}{3}\cdot (-1)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4} \\ A=\int_{0}^{4}\left( \frac{1}{3}x^3-1x^2-1\frac{1}{3}x\right)dx=\left[ \frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^2\right]_{0}^{4} \\ =\left(\frac{1}{12}\cdot 4^{4}-\frac{1}{3}\cdot 4^{3}-\frac{2}{3}\cdot 4^{2}\right)-\left(\frac{1}{12}\cdot 0^{4}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-\frac{2}{3}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-10\frac{2}{3}\right)-\left(0\right)=-10\frac{2}{3} \\ \\ $