Beispiel Nr: 32
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-0,096x^3-0,193x^2+1\frac{19}{35}x+3\frac{3}{35} \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-0,096x^3-0,193x^2+1\frac{19}{35}x+3\frac{3}{35}=-0,096(x+4,02)(x+2)(x-4,01)\\ f'\left(x\right)=-0,288x^2-0,386x+1\frac{19}{35}=-0,288(x+3,08)(x-1,74)\\ f''\left(x\right)=-0,576x-0,386=-0,576(x+0,67)\\ f'''\left(x\right)=-0,576 \\ F(x)=\int_{}^{}(-0,096x^3-0,193x^2+1\frac{19}{35}x+3\frac{3}{35})dx=-0,024x^4-0,0643x^3+\frac{27}{35}x^2+3\frac{3}{35}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-0,096-\dfrac{0,193}{x}+\dfrac{1\frac{19}{35}}{x^2}+\dfrac{3\frac{3}{35}}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-0,096\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-0,096\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-0,096\cdot (-x)^{3}-0,193\cdot (-x)^{2}+1\frac{19}{35}\cdot (-x)+3\frac{3}{35} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-0,096x^3-0,193x^2+1\frac{19}{35}x+3\frac{3}{35} = 0 \\ \\-0,096x^3-0,193x^2+1\frac{19}{35}x+3\frac{3}{35}=0\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-4,02; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=4,01; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4,02&< x <&-2&< x <&4,01&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4,02[\quad \cup \quad]-2;4,01[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4,02;-2[\quad \cup \quad]4,01;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-0,288x^2-0,386x+1\frac{19}{35} = 0 \\ \\ \\ -0,288x^{2}-0,386x+1\frac{19}{35} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+0,386 \pm\sqrt{\left(-0,386\right)^{2}-4\cdot \left(-0,288\right) \cdot 1\frac{19}{35}}}{2\cdot\left(-0,288\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+0,386 \pm\sqrt{1,93}}{-0,576} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{0,386 \pm1,39}{-0,576} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{0,386 +1,39}{-0,576} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{0,386 -1,39}{-0,576} \\ x_{1}=-3,08 \qquad x_{2}=1,74 \\ \underline{x_4=-3,08; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1,74; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3,08)=1,39>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-3,08/-0,692)} \\ f''(1,74)=-1,39 \\ f''(1,74)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,74/4,68)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,08&< x <&1,74&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,08;1,74[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,08[\quad \cup \quad]1,74;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-0,576x-0,386 = 0 \\ \\ -0,576 x-0,386 =0 \qquad /+0,386 \\ -0,576 x= 0,386 \qquad /:\left(-0,576\right) \\ x=\displaystyle\frac{0,386}{-0,576}\\ x=-0,67 \\ \underline{x_6=-0,67; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-0,67)=1,99\\ f'''(-0,67) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-0,67/1,99)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,67&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,67[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,67;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-4,02}^{-2}\left(-0,096x^3-0,193x^2+1\frac{19}{35}x+3\frac{3}{35}\right)dx=\left[-0,024x^4-0,0643x^3+\frac{27}{35}x^2+3\frac{3}{35}x\right]_{-4,02}^{-2} \\ =\left(-0,024\cdot (-2)^{4}-0,0643\cdot (-2)^{3}+\frac{27}{35}\cdot (-2)^{2}+3\frac{3}{35}\cdot (-2)\right)-\left(-0,024\cdot (-4,02)^{4}-0,0643\cdot (-4,02)^{3}+\frac{27}{35}\cdot (-4,02)^{2}+3\frac{3}{35}\cdot (-4,02)\right) \\ =\left(-2,96\right)-\left(-2,03\right)=-0,929 \\ A=\int_{-2}^{4,01}\left(-0,096x^3-0,193x^2+1\frac{19}{35}x+3\frac{3}{35}\right)dx=\left[-0,024x^4-0,0643x^3+\frac{27}{35}x^2+3\frac{3}{35}x\right]_{-2}^{4,01} \\ =\left(-0,024\cdot 4,01^{4}-0,0643\cdot 4,01^{3}+\frac{27}{35}\cdot 4,01^{2}+3\frac{3}{35}\cdot 4,01\right)-\left(-0,024\cdot (-2)^{4}-0,0643\cdot (-2)^{3}+\frac{27}{35}\cdot (-2)^{2}+3\frac{3}{35}\cdot (-2)\right) \\ =\left(14,4\right)-\left(-2,96\right)=17,4 \\ \\ $