Beispiel Nr: 34
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54=-13\frac{1}{2}(x+2)^2(x+1)\\ f'\left(x\right)=-40\frac{1}{2}x^2-135x-108=-40\frac{1}{2}(x+2)(x+1\frac{1}{3})\\ f''\left(x\right)=-81x-135=-81(x+1\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)=-81 \\ F(x)=\int_{}^{}(-13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54)dx=-3\frac{3}{8}x^4-22\frac{1}{2}x^3-54x^2-54x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-13\frac{1}{2}-\dfrac{67\frac{1}{2}}{x}-\dfrac{108}{x^2}-\dfrac{54}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-13\frac{1}{2}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-13\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-13\frac{1}{2}\cdot (-x)^{3}-67\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2}-108\cdot (-x)-54 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54 = 0 \\ \\-13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-13\frac{1}{2}x^3&-67\frac{1}{2}x^2&-108x&-54&):( x +1 )=-13\frac{1}{2}x^2 -54x -54 \\ \,-(-13\frac{1}{2}x^3&-13\frac{1}{2}x^2) \\ \hline &-54x^2&-108x&-54&\\ &-(-54x^2&-54x) \\ \hline &&-54x&-54&\\ &&-(-54x&-54) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -13\frac{1}{2}x^{2}-54x-54 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+54 \pm\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\cdot \left(-13\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-54\right)}}{2\cdot\left(-13\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+54 \pm\sqrt{0}}{-27} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{54 \pm0}{-27} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{54 +0}{-27} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{54 -0}{-27} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&-1&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-2;-1[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-40\frac{1}{2}x^2-135x-108 = 0 \\ \\ \\ -40\frac{1}{2}x^{2}-135x-108 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+135 \pm\sqrt{\left(-135\right)^{2}-4\cdot \left(-40\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-108\right)}}{2\cdot\left(-40\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+135 \pm\sqrt{729}}{-81} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{135 \pm27}{-81} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{135 +27}{-81} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{135 -27}{-81} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-1\frac{1}{3} \\ \underline{x_3=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=-1\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2)=27>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2/0)} \\ f''(-1\frac{1}{3})=-27 \\ f''(-1\frac{1}{3})<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1\frac{1}{3}/2)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&-1\frac{1}{3}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;-1\frac{1}{3}[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]-1\frac{1}{3};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-81x-135 = 0 \\ \\ -81 x-135 =0 \qquad /+135 \\ -81 x= 135 \qquad /:\left(-81\right) \\ x=\displaystyle\frac{135}{-81}\\ x=-1\frac{2}{3} \\ \underline{x_5=-1\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-1\frac{2}{3})=1\\ f'''(-1\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-1\frac{2}{3}/1)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1\frac{2}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{-1}\left(-13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54\right)dx=\left[-3\frac{3}{8}x^4-22\frac{1}{2}x^3-54x^2-54x\right]_{-2}^{-1} \\ =\left(-3\frac{3}{8}\cdot (-1)^{4}-22\frac{1}{2}\cdot (-1)^{3}-54\cdot (-1)^{2}-54\cdot (-1)\right)-\left(-3\frac{3}{8}\cdot (-2)^{4}-22\frac{1}{2}\cdot (-2)^{3}-54\cdot (-2)^{2}-54\cdot (-2)\right) \\ =\left(19\frac{1}{8}\right)-\left(18\right)=1\frac{1}{8} \\ \\ $