Beispiel Nr: 35
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{18}x^3-\frac{1}{2}x^2+6 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{18}x^3-\frac{1}{2}x^2+6=\frac{1}{18}(x+3)(x-6)^2\\ f'\left(x\right)= \frac{1}{6}x^2-1x=\frac{1}{6}x(x-6)\\ f''\left(x\right)= \frac{1}{3}x-1=\frac{1}{3}(x-3)\\ f'''\left(x\right)= \frac{1}{3} \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{18}x^3-\frac{1}{2}x^2+6)dx= \frac{1}{72}x^4-\frac{1}{6}x^3+6x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{18}-\dfrac{\frac{1}{2}}{x}+\dfrac{6}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{18}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{18}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{18}\cdot (-x)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2}+6 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{18}x^3-\frac{1}{2}x^2+6 = 0 \\ \\ \frac{1}{18}x^3-\frac{1}{2}x^2+6=0\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=6; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&6&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;6[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{1}{6}x^2-1x = 0 \\ x( \frac{1}{6}x-1)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{6}x-1=0\\ \frac{1}{6} x-1 =0 \qquad /+1 \\ \frac{1}{6} x= 1 \qquad /:\frac{1}{6} \\ x=\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{6}}\\ x=6 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=-1 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/6)} \\ f''(6)=1>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (6/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&6&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;6[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= \frac{1}{3}x-1 = 0 \\ \\ \frac{1}{3} x-1 =0 \qquad /+1 \\ \frac{1}{3} x= 1 \qquad /:\frac{1}{3} \\ x=\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{3}}\\ x=3 \\ \underline{x_5=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(3)=3\\ f'''(3) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (3/3)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{6}\left( \frac{1}{18}x^3-\frac{1}{2}x^2+6\right)dx=\left[ \frac{1}{72}x^4-\frac{1}{6}x^3+6x\right]_{-3}^{6} \\ =\left(\frac{1}{72}\cdot 6^{4}-\frac{1}{6}\cdot 6^{3}+6\cdot 6\right)-\left(\frac{1}{72}\cdot (-3)^{4}-\frac{1}{6}\cdot (-3)^{3}+6\cdot (-3)\right) \\ =\left(18\right)-\left(-12\frac{3}{8}\right)=30\frac{3}{8} \\ \\ $