Beispiel Nr: 36
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= x^3-6x^2+9x \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^3-6x^2+9x=x(x-3)^2\\ f'\left(x\right)= 3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\\ f''\left(x\right)= 6x-12=6(x-2)\\ f'''\left(x\right)= 6 \\ F(x)=\int_{}^{}( x^3-6x^2+9x)dx= \frac{1}{4}x^4-2x^3+4\frac{1}{2}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( 1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{9}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{3}-6\cdot (-x)^{2}+9\cdot (-x) \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^3-6x^2+9x = 0 \\ x( x^2-6x+9)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x^2-6x+9=0\\ \\ 1x^{2}-6x+9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+6 \pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 9}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+6 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{6 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{6 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{6 -0}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 3x^2-12x+9 = 0 \\ \\ \\ 3x^{2}-12x+9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+12 \pm\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\cdot 3 \cdot 9}}{2\cdot3} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+12 \pm\sqrt{36}}{6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{12 \pm6}{6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{12 +6}{6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{12 -6}{6} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=1 \\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=-6 \\ f''(1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1/4)} \\ f''(3)=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3/0)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;3[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= 6x-12 = 0 \\ \\ 6 x-12 =0 \qquad /+12 \\ 6 x= 12 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{12}{6}\\ x=2 \\ \underline{x_5=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(2)=2\\ f'''(2) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (2/2)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{0}^{3}\left( x^3-6x^2+9x\right)dx=\left[ \frac{1}{4}x^4-2x^3+4\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{3} \\ =\left(\frac{1}{4}\cdot 3^{4}-2\cdot 3^{3}+4\frac{1}{2}\cdot 3^{2}\right)-\left(\frac{1}{4}\cdot 0^{4}-2\cdot 0^{3}+4\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(6\frac{3}{4}\right)-\left(0\right)=6\frac{3}{4} \\ \\ $