Beispiel Nr: 37
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x=\frac{1}{10}(x+5,66)x(x-5,66)\\ f'\left(x\right)= \frac{3}{10}x^2-3\frac{1}{5}=\frac{3}{10}(x+3,27)(x-3,27)\\ f''\left(x\right)= \frac{3}{5}x=\frac{3}{5}x\\ f'''\left(x\right)= \frac{3}{5} \\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x)dx= \frac{1}{40}x^4-1\frac{3}{5}x^2+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3( \frac{1}{10}-\dfrac{3\frac{1}{5}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{10}\cdot \infty^3]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{10}\cdot (-\infty)^3]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{10}\cdot (-x)^{3}-3\frac{1}{5}\cdot (-x) \\ f\left(-x\right)=-\left(\frac{1}{10}\cdot x^{3}-3\frac{1}{5}\cdot x\right) \\ f\left(-x\right)= -f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zum Ursprung:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x = 0 \\ x( \frac{1}{10}x^2-3\frac{1}{5})=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad \frac{1}{10}x^2-3\frac{1}{5}=0\\ \frac{1}{10}x^2-3\frac{1}{5} =0 \qquad /+3\frac{1}{5} \\ \frac{1}{10}x^2= 3\frac{1}{5} \qquad /:\frac{1}{10} \\ x^2=\displaystyle\frac{3\frac{1}{5}}{\frac{1}{10}} \\ x=\pm\sqrt{32} \\ x_1=5,66 \qquad x_2=-5,66 \\ \underline{x_1=-5,66; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=5,66; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5,66&< x <&0&< x <&5,66&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5,66;0[\quad \cup \quad]5,66;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5,66[\quad \cup \quad]0;5,66[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{3}{10}x^2-3\frac{1}{5} = 0 \\ \\ \frac{3}{10}x^2-3\frac{1}{5} =0 \qquad /+3\frac{1}{5} \\ \frac{3}{10}x^2= 3\frac{1}{5} \qquad /:\frac{3}{10} \\ x^2=\displaystyle\frac{3\frac{1}{5}}{\frac{3}{10}} \\ x=\pm\sqrt{10\frac{2}{3}} \\ x_1=3,27 \qquad x_2=-3,27 \\ \underline{x_4=-3,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=3,27; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3,27)=-1,96 \\ f''(-3,27)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-3,27/6,97)} \\ f''(3,27)=1,96>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3,27/-6,97)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,27&< x <&3,27&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,27[\quad \cup \quad]3,27;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,27;3,27[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)= \frac{3}{5}x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(0)=0\\ f'''(0) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (0/0)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-5,66}^{0}\left( \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x\right)dx=\left[ \frac{1}{40}x^4-1\frac{3}{5}x^2\right]_{-5,66}^{0} \\ =\left(\frac{1}{40}\cdot 0^{4}-1\frac{3}{5}\cdot 0^{2}\right)-\left(\frac{1}{40}\cdot (-5,66)^{4}-1\frac{3}{5}\cdot (-5,66)^{2}\right) \\ =\left(0\right)-\left(-25\frac{3}{5}\right)=25\frac{3}{5} \\ A=\int_{0}^{5,66}\left( \frac{1}{10}x^3-3\frac{1}{5}x\right)dx=\left[ \frac{1}{40}x^4-1\frac{3}{5}x^2\right]_{0}^{5,66} \\ =\left(\frac{1}{40}\cdot 5,66^{4}-1\frac{3}{5}\cdot 5,66^{2}\right)-\left(\frac{1}{40}\cdot 0^{4}-1\frac{3}{5}\cdot 0^{2}\right) \\ =\left(-25\frac{3}{5}\right)-\left(0\right)=-25\frac{3}{5} \\ \\ $