Beispiel Nr: 38
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)= 1\frac{11}{25}x^2+10\frac{2}{25}x+8\frac{16}{25} \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 1\frac{11}{25}x^2+10\frac{2}{25}x+8\frac{16}{25}=1\frac{11}{25}(x+6)(x+1)\\ f'\left(x\right)= 2\frac{22}{25}x+10\frac{2}{25}\\ f''\left(x\right)= 2\frac{22}{25}\\ F(x)=\int_{}^{}( 1\frac{11}{25}x^2+10\frac{2}{25}x+8\frac{16}{25})dx= \frac{12}{25}x^3+5\frac{1}{25}x^2+8\frac{16}{25}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-9),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1\frac{11}{25}+\dfrac{10\frac{2}{25}}{x}+\dfrac{8\frac{16}{25}}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\frac{11}{25}\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\frac{11}{25}\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\frac{11}{25}\cdot (-x)^{2}+10\frac{2}{25}\cdot (-x)+8\frac{16}{25} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 1\frac{11}{25}x^2+10\frac{2}{25}x+8\frac{16}{25} = 0 \\ \\ \\ 1\frac{11}{25}x^{2}+10\frac{2}{25}x+8\frac{16}{25} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-10\frac{2}{25} \pm\sqrt{\left(10\frac{2}{25}\right)^{2}-4\cdot 1\frac{11}{25} \cdot 8\frac{16}{25}}}{2\cdot1\frac{11}{25}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-10\frac{2}{25} \pm\sqrt{51\frac{21}{25}}}{2\frac{22}{25}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-10\frac{2}{25} \pm7\frac{1}{5}}{2\frac{22}{25}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-10\frac{2}{25} +7\frac{1}{5}}{2\frac{22}{25}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-10\frac{2}{25} -7\frac{1}{5}}{2\frac{22}{25}} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-6 \\ \underline{x_1=-6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-6&< x <&-1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-6[\quad \cup \quad]-1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-6;-1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2\frac{22}{25}x+10\frac{2}{25} = 0 \\ \\ 2\frac{22}{25} x+10\frac{2}{25} =0 \qquad /-10\frac{2}{25} \\ 2\frac{22}{25} x= -10\frac{2}{25} \qquad /:2\frac{22}{25} \\ x=\displaystyle\frac{-10\frac{2}{25}}{2\frac{22}{25}}\\ x=-3\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=-3\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3\frac{1}{2})=2\frac{22}{25}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-3\frac{1}{2}/-9)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-3\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-6}^{-1}\left( 1\frac{11}{25}x^2+10\frac{2}{25}x+8\frac{16}{25}\right)dx=\left[ \frac{12}{25}x^3+5\frac{1}{25}x^2+8\frac{16}{25}x\right]_{-6}^{-1} \\ =\left(\frac{12}{25}\cdot (-1)^{3}+5\frac{1}{25}\cdot (-1)^{2}+8\frac{16}{25}\cdot (-1)\right)-\left(\frac{12}{25}\cdot (-6)^{3}+5\frac{1}{25}\cdot (-6)^{2}+8\frac{16}{25}\cdot (-6)\right) \\ =\left(-4\frac{2}{25}\right)-\left(25\frac{23}{25}\right)=-30 \\ \\ $