Beispiel Nr: 17
$ \text{Gegeben:}\\ \text{Seite-Seite-Seite (SSS): }a-b-c \\ \text{Seite-Winkel-Seite (SWS): } a-b-\gamma , a-c-\beta , b-c-\alpha \\ \text{Seite-Seite-Winkel(SsW): }a-b-\alpha ,a-b-\beta , a-c-\alpha, a-c-\gamma, b-c-\beta, b-c-\gamma \\ \text{Winkel-Winkel-Seite (WWS,WSW): } c-\beta-\gamma,a-\alpha-\beta ,a-\alpha-\gamma,a-\beta-\gamma,b-\alpha-\beta ,b-\alpha-\gamma,b-\beta-\gamma,c-\alpha-\beta ,c-\alpha-\gamma \\ \text{Gesucht:} \\ \text{- alle Winkel und alle Seiten} \\ \text{- Fläche } \\ \text{- Umfang} \\ \text{- Höhen,Seitenhalbierende,Winkelhalbierende} \\ \text{- Inn- und Umkreisradius} \\ \text{Eingabe:} \\ \text{Nur drei Eingaben können ungleich Null sein.} \\ \text{Ausgabe der Grafik nur im PDF-Format.}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ b=5 \qquad \alpha=90 \qquad \beta=30 \qquad \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\text{inkel-Winkel-Seite}\\ b=5\quad \alpha=90^\circ\quad \beta=30^\circ\\ \\ \text{Winkelsumme: } \alpha + \beta + \gamma =180^\circ\\ \alpha + \beta + \gamma =180 \qquad /-\alpha \qquad /-\beta \\ \gamma =180^\circ -\alpha -\beta \\ \gamma =180^\circ -90^\circ - 30^\circ \\ \gamma =60^\circ \\ \text{Sinus: }\quad \sin\beta= \displaystyle \frac{b}{a} \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{b}{a} \quad / \cdot a\\ a \cdot \sin\beta= b \quad / :sin\beta\\ a= \displaystyle \frac{b}{\sin\beta} \\ a= \displaystyle \frac{5}{\sin30} \\ a=10 \\ \text{Pythagoras: } a^2=b^2+c^2 \quad /-b^2\\ c^2=a^2-b^2 \\ c=\sqrt{a^2-b^2} \\ c=\sqrt{10^2-5^2}\\ c=8,66 \\ \text{Umfang: } U=a+b+c \\ U=10+5+8,66 \\ U=23,7 \\ \text{Höhe: } h_a \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \quad /\cdot c\\ h_a =c \cdot \sin\beta \\ h_a =8,66 \cdot \sin30^\circ \\ h_a=4,33 \\ \text{Flaeche: } \quad A = \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a \\ A = \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 4,33 \\ A=21,7 \\ \text{Höhe: } h_b \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \quad /\cdot a\\ h_b =a \cdot \sin\gamma \\ h_b =10 \cdot \sin60^\circ \\ h_b=8,66 \\ \text{Höhe: } h_c \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \quad / \cdot b\\ h_c=b \cdot \sin\alpha \\ h_c=5 \cdot \sin90^\circ \\ h_c=5 \\ \text{Winkelhalbierende: }\alpha \\ \delta=180-\beta-\frac{\alpha}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{wha}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{wha}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\beta \\ wha=\displaystyle\frac{c \cdot \sin\beta}{ \sin\delta } \\ wha =\displaystyle\frac{8,66\cdot \sin30 }{ \sin105} \\ wha=4,48 \\ \text{Winkelhalbierende: }\beta \\ \delta=180-\frac{\beta}{2}-\gamma \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whb}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whb}{\sin \gamma}=\frac{a}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\gamma \\ whb=\displaystyle\frac{a \cdot \sin\gamma}{ \sin\delta } \\ whb =\displaystyle\frac{10\cdot \sin60 }{ \sin105} \\ whb=8,97 \\ \text{Winkelhalbierende: }\gamma \\ \delta=180-\alpha-\frac{\gamma}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whc}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whc}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\alpha \\ whc=\displaystyle\frac{b \cdot \sin\alpha}{ \sin\delta } \\ whc =\displaystyle\frac{5\cdot \sin90 }{ \sin105} \\ whc=10,4 \\ \text{Seitenhalbierende: } \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(5^2+8,66^2)-10^2} \\ s_a=5 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}\\ s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(10^2+8,66^2)-5^2}\\ s_b=9,01 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}\\ s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(10^2+5^2)-8,66^2}\\ s_c=7\frac{1}{2} \\ \text{Umkreisradius: } 2\cdot r_u= \displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{a}{2\cdot\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{10}{2\cdot\sin90^\circ} \\ r_u=5 \\ \text{Inkreisradius: }r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot A}{U} \\ r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot 21,7}{23,7} \\ r_i=1,83 \\$