Beispiel Nr: 67
$ \text{Gegeben:}\\ \text{Seite-Seite-Seite (SSS): }a-b-c \\ \text{Seite-Winkel-Seite (SWS): } a-b-\gamma , a-c-\beta , b-c-\alpha \\ \text{Seite-Seite-Winkel(SsW): }a-b-\alpha ,a-b-\beta , a-c-\alpha, a-c-\gamma, b-c-\beta, b-c-\gamma \\ \text{Winkel-Winkel-Seite (WWS,WSW): } c-\beta-\gamma,a-\alpha-\beta ,a-\alpha-\gamma,a-\beta-\gamma,b-\alpha-\beta ,b-\alpha-\gamma,b-\beta-\gamma,c-\alpha-\beta ,c-\alpha-\gamma \\ \text{Gesucht:} \\ \text{- alle Winkel und alle Seiten} \\ \text{- Fläche } \\ \text{- Umfang} \\ \text{- Höhen,Seitenhalbierende,Winkelhalbierende} \\ \text{- Inn- und Umkreisradius} \\ \text{Eingabe:} \\ \text{Nur drei Eingaben können ungleich Null sein.} \\ \text{Ausgabe der Grafik nur im PDF-Format.}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ b=4 \qquad \alpha=120 \qquad \gamma=3 \qquad \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\text{Winkel-Seite-Winkel}\\ b=0\quad \alpha=120^\circ\quad \gamma=3^\circ\\ \\ \text{Winkelsumme: } \alpha + \beta + \gamma =180^\circ\\ \alpha+ \beta + \gamma =180 \qquad /-\alpha \qquad /-\gamma \\ \beta =180^\circ -\alpha - \gamma \\ \beta =180^\circ -120^\circ - 3^\circ \\ \beta =57^\circ \\ \text{Sinus-Satz: } \displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta } \\ \displaystyle \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin\beta }\qquad /\cdot \sin\alpha \\ a=\displaystyle\frac{b \cdot \sin\alpha }{ \sin\beta } \\ a =\displaystyle\frac{4\cdot \sin120 }{ \sin57 } \\ a=4,13 \\ \text{Kosinus-Satz: } c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\gamma \\ c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\gamma \\ c=\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\gamma} \\ c=\sqrt{4,13^2+4^2-2\cdot 4,13 \cdot 4 \cdot \cos3^\circ} \\ c=0,25 \\ \text{Umfang: } U=a+b+c \\ U=4,13+4+0,25 \\ U=8,38 \\ \text{Höhe: } h_a \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \quad /\cdot c\\ h_a =c \cdot \sin\beta \\ h_a =0,25 \cdot \sin57^\circ \\ h_a=0,209 \\ \text{Flaeche: } \quad A = \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a \\ A = \frac{1}{2}\cdot 4,13 \cdot 0,209 \\ A=0,432 \\ \text{Höhe: } h_b \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \quad /\cdot a\\ h_b =a \cdot \sin\gamma \\ h_b =4,13 \cdot \sin3^\circ \\ h_b=0,216 \\ \text{Höhe: } h_c \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \quad / \cdot b\\ h_c=b \cdot \sin\alpha \\ h_c=4 \cdot \sin120^\circ \\ h_c=3,46 \\ \text{Winkelhalbierende: }\alpha \\ \delta=180-\beta-\frac{\alpha}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{wha}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{wha}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\beta \\ wha=\displaystyle\frac{c \cdot \sin\beta}{ \sin\delta } \\ wha =\displaystyle\frac{0,25\cdot \sin57 }{ \sin63} \\ wha=0,235 \\ \text{Winkelhalbierende: }\beta \\ \delta=180-\frac{\beta}{2}-\gamma \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whb}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whb}{\sin \gamma}=\frac{a}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\gamma \\ whb=\displaystyle\frac{a \cdot \sin\gamma}{ \sin\delta } \\ whb =\displaystyle\frac{4,13\cdot \sin3 }{ \sin148\frac{1}{2}} \\ whb=0,414 \\ \text{Winkelhalbierende: }\gamma \\ \delta=180-\alpha-\frac{\gamma}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whc}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whc}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\alpha \\ whc=\displaystyle\frac{b \cdot \sin\alpha}{ \sin\delta } \\ whc =\displaystyle\frac{4\cdot \sin120 }{ \sin63} \\ whc=4,01 \\ \text{Seitenhalbierende: } \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(4^2+0,25^2)-4,13^2} \\ s_a=1,94 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}\\ s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(4,13^2+0,25^2)-4^2}\\ s_b=2,14 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}\\ s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(4,13^2+4^2)-0,25^2}\\ s_c=3,54 \\ \text{Umkreisradius: } 2\cdot r_u= \displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{a}{2\cdot\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{4,13}{2\cdot\sin120^\circ} \\ r_u=2,38 \\ \text{Inkreisradius: }r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot A}{U} \\ r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot 0,432}{8,38} \\ r_i=0,103 \\$