Analytische Geometrie-Vektorrechung in der Ebene-Skalarprodukt - Fläche - Winkel



Beispiel Nr: 04
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 12 \\ 9 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 12 \\ 9 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Steigung} \\ m_s=\dfrac{y_a}{x_a}=\dfrac{9}{12}=\frac{3}{4} \\ m_b=\dfrac{y_b}{x_b}=\dfrac{-1}{4}=-\frac{1}{4} \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{x_a^2+y_a^2}=\sqrt{12^2+9^2} =15 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{x_b^2+y_b^2} =\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2} =4,12 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}==\left( \begin{array}{c} 12 \\ 9 \\ \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ \end{array} \right) =12 \cdot 4 + 9 \cdot \left(-1\right) = 39 \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms aus } \vec{a},\vec{b} \\ A= \left| \begin{array}{cc} 12 & 4 \\ 9 & -1 \end{array} \right| = 12 \cdot -1 - 9 \cdot 4 = -48 \\ \text{ Fläche des Dreiecks aus } \vec{a},\vec{b}\\ A=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{cc} 12 & 4 \\ 9 & -1 \end{array}\right| =\frac{1}{2}(12 \cdot -1 - 9 \cdot 4) = -24 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \dfrac{12 \cdot 4 + 9 \cdot \left(-1\right) }{\sqrt{12^2+9^2}\cdot\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2}} \\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{39}{15 \cdot 4,12} \right| \\ \cos \alpha= \left| 0,631 \right| \\ \alpha=50,9 \\ $