Beispielaufgaben Analysis - Differentialrechnung - 2. Ableitung - Krümmung - Wendepunkte

Kurvendiskussion

Analysis-Differentialrechnung-2. Ableitung - Krümmung - Wendepunkte

Kurvendiskussion

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Beispiel Nr: 01

\begin{array}{l} Gegeben:Funktion f(x) \\ Gesucht: \\ Definitions- und  Wertebereich \\ Grenzwerte \\ Symmetrie \\ Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse \\ Ableitungen - Stammfunktion \\ Extremwerte - Monotonie \\ Wendepunkte - Krümmung \\ Stammfunktion \\ Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse \\ Aufgabe: \\ a \\ Rechnung: \\ ∙ Funktion/Ableitungen/Stammfunktion \\ f (x) = 2 x^{2} \\ f^{'} (x) = 4 x \\ f^{″} (x) = 4 \\ F (x) = \int_{}^{} (2 x^{2}) d x = \frac{2}{3} x^{3} + c \\ ∙ Definitions- und  Wertebereich: \\ D = R W = [0, \infty [ \\ ∙ Grenzwerte: \\ f (x) = x^{2} (2) \\ lim_{x \to \infty} f (x) = [2 \cdot \infty^{2}] = \infty \\ lim_{x \to - \infty} f (x) = [2 \cdot (- \infty)^{2}] = \infty \\ ∙ Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse \\ f (- x) = 2 \cdot (- x)^{2} \\ f (- x) = 2 \cdot x^{2} \\ f (- x) = f (x) \to Symmetrie zur y-Achse: \\ ∙ Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse: \\ f (x) = 2 x^{2} = 0 \\ x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ \underset{―}{x_{1} = 0; 2 -fache Nullstelle} \\ ∙ Vorzeichentabelle: \\ \begin{array}{cccc} x < & 0 & < x \\ f (x) & + & 0 & + \end{array} \\ \underset{―}{x \in] - \infty; 0 [\cup] 0; \infty [f (x) > 0 oberhalb der x-Achse} \\ ∙ Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: \\ f^{'} (x) = 4 x = 0 \\ x = 0 \Rightarrow x = 0 \\ \underset{―}{x_{2} = 0; 1 -fache Nullstelle} \\ f^{″} (0) = 4 > 0 \Rightarrow \underset{―}{Tiefpunkt: (0 / 0)} \\ ∙ Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) \\ \begin{array}{cccc} x < & 0 & < x \\ f^{'} (x) & - & 0 & + \end{array} \\ \underset{―}{x \in] 0; \infty [f^{'} (x) > 0 streng monoton steigend} \\ \underset{―}{x \in] - \infty; 0 [f^{'} (x) < 0 streng monoton fallend} \\ ∙ Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse \\ keine Fläche \end{array}