$\begin{array}{l} \\ \text{Gegeben: Polynom vom Grad n } \\ \text{Gesucht: Lösung der Gleichung } \\ \\ \textbf{Aufgabe:}\\ x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0 \\ \textbf{Rechnung:}\\ x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0\\\\ x^4+4x^3+6x^2+4x+1\\ \text{Nullstelle für Polynomdivision erraten:}-1\\ \small \begin{matrix} ( x^4&+4x^3&+6x^2&+4x&+1&):( x +1 )= x^3 +3x^2 +3x +1 \\ \,-( x^4&+x^3) \\ \hline & 3x^3&+6x^2&+4x&+1&\\ &-( 3x^3&+3x^2) \\ \hline && 3x^2&+4x&+1&\\ &&-( 3x^2&+3x) \\ \hline &&& x&+1&\\ &&&-( x&+1) \\ \hline &&&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ x^3+3x^2+3x+1=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&+3x^2&+3x&+1&):( x +1 )= x^2 +2x +1 \\ \,-( x^3&+x^2) \\ \hline & 2x^2&+3x&+1&\\ &-( 2x^2&+2x) \\ \hline && x&+1&\\ &&-( x&+1) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}+2x+1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\ \end{array}$