$\begin{array}{l} \\ \text{ Gegeben:Funktion f(x) } \\ \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\ \textbf{Aufgabe:}\\c\\ \textbf{Rechnung:}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+6=-\frac{1}{2}(x+3,46)(x-3,46)\\ f'\left(x\right)=-1x\\ f''\left(x\right)=-1\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{2}x^2+6)dx=-\frac{1}{6}x^3+6x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,6] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{1}{2}+\dfrac{6}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{2}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{2}\cdot (-x)^{2}+6 \\ f\left(-x\right)=-\frac{1}{2}\cdot x^{2}+6 \\ f\left(-x\right)= f\left(x\right) \rightarrow \text{Symmetrie zur y-Achse:} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{2}x^2+6 = 0 \\ \\ -\frac{1}{2}x^2+6 =0 \qquad /-6 \\ -\frac{1}{2}x^2= -6 \qquad /:\left(-\frac{1}{2}\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-6}{-\frac{1}{2}} \\ x=\pm\sqrt{12} \\ x_1=3,46 \qquad x_2=-3,46 \\ \underline{x_1=-3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,46&< x <&3,46&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,46;3,46[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,46[\quad \cup \quad]3,46;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(0)=-1 \\ f''(0)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0/6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3,46}^{3,46}\left(-\frac{1}{2}x^2+6\right)dx=\left[-\frac{1}{6}x^3+6x\right]_{-3,46}^{3,46} \\ =\left(-\frac{1}{6}\cdot 3,46^{3}+6\cdot 3,46\right)-\left(-\frac{1}{6}\cdot (-3,46)^{3}+6\cdot (-3,46)\right) \\ =\left(13,9\right)-\left(-13,9\right)=27,7 \\ \\ \end{array}$