Beispielaufgaben Analytische Geometrie - Vektor - Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit

Analytische Geometrie-Vektor-Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit

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Beispiel Nr: 03

\begin{array}{l} Gegeben: \\ Vektoren: \vec{A} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \vec{B} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ Gesucht: \\ Länge der Vektoren: \\ Fläche des Parallelogramms \\ Vektorprodukt \\ Skalarprodukt \\ Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren \\ Gegeben: \\ Vektor: \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 4 \end{array}) \vec{B} = (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \\ Rechnung: \\ Vektoren: \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 4 \end{array}) \vec{b} = (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \\ ∙ Länge der Vektoren: \\ | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} \\ | \vec{a} | = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 4^{2}} \\ | \vec{a} | = 7, 48 \\ | \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}} \\ | \vec{b} | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} \\ | \vec{b} | = 8, 6 \\ ∙ Skalarprodukt: \\ \vec{a} \circ \vec{b} = 2 \cdot - 8 + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot - 3 = - 34 \\ ∙ Vektorprodukt: \\ \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} 6 \cdot (- 3) - 4 \cdot (- 1) \\ 4 \cdot (- 8) - (- 3) \cdot 2 \\ 2 \cdot (- 1) - 6 \cdot (- 8) \end{array}) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} - 14 \\ - 26 \\ 46 \end{array}) \\ ∙ Fläche des Parallelogramms \\ | \vec{c} | = \sqrt{{(- 14)}^{2} + {(- 26)}^{2} + 46^{2}} \\ | \vec{c} | = 54, 7 \\ ∙ Schnittwinkel: \\ \cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} \\ \cos α = | \frac{- 34}{7, 48 \cdot 8, 6} | \\ \cos α = | - 0, 528 | \\ α = 58, 1 \\ ∙ Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren \\ (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 4 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) \\ \begin{array}{cccc} 2 & = & - 8 k & / : - 8 \Rightarrow k = - \frac{1}{4} \\ 6 & = & - 1 k & / : - 1 \Rightarrow k = - 6 \\ 4 & = & - 3 k & / : - 3 \Rightarrow k = - 1 \frac{1}{3} \end{array} \\ \Rightarrow Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel \end{array}