Analytische Geometrie-Lagebeziehung-Ebene - Ebene
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Beispiel Nr: 03
$\begin{array}{l} \text{Gegeben:} \\
\text{Ebene1: }
\vec{x} =\left(
\begin{array}{c}
a1 \\
a2 \\
a3 \\
\end{array}
\right) + \lambda
\left(
\begin{array}{c}
b1 \\
b2 \\
b3 \\
\end{array}
\right)
+ \sigma
\left(
\begin{array}{c}
c1 \\
c2 \\
c3 \\
\end{array}
\right) \\
\text{Ebene2: } n1 x_1+n2 x_2+n3 x_3+k1=0 \\
\\ \text{Gesucht:} \\\text{Lage der Ebenen zueinander}
\\ \\ \textbf{Gegeben:} \\
\text{Ebene1: }
\vec{x} =\left(
\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
0 \\
\end{array}
\right) + \lambda
\left(
\begin{array}{c}
4 \\
0 \\
6 \\
\end{array}
\right)
+ \sigma
\left(
\begin{array}{c}
5 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right) \\
\text{Ebene2: } 5 x_1+0 x_2+6 x_3+5=0 \\
\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\
\text{Ebene: }
\vec{x} =\left(
\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
0 \\
\end{array}
\right) + \lambda
\left(
\begin{array}{c}
4 \\
0 \\
6 \\
\end{array}
\right)
+ \sigma
\left(
\begin{array}{c}
5 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right) \\
\text{Ebene: } 5 x_1+0 x_2+6 x_3+5=0 \\
\begin{array}{cccc}
x_1=& 3 &+4\lambda &+5\sigma \\
x_2=&6 &+0\lambda &+0\sigma \\
x_3=&0 &+6\lambda &+0\sigma\\
\end{array} \\
5( 3+4\lambda+5\sigma) +0(6+0\lambda+0\sigma) +6 (0+6\lambda+0\sigma)+5=0 \\
56\lambda+25\sigma+20=0 \\
\\
\sigma=\frac{-56 \lambda -20}{25} \\
\sigma= -2\frac{6}{25} \lambda -\frac{4}{5} \\
\vec{x} = \left(
\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
0 \\
\end{array}
\right) +\lambda \cdot
\left(
\begin{array}{c}
4 \\
0 \\
6 \\
\end{array}
\right) +(-2\frac{6}{25}\lambda-\frac{4}{5}) \cdot
\left(
\begin{array}{c}
5 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right) \\
\text{Schnittgerade: }
\vec{x} =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
6 \\
0 \\
\end{array}
\right) + \lambda
\left(
\begin{array}{c}
-7\frac{1}{5} \\
0 \\
6 \\
\end{array}
\right) \\
\\
\end{array}$