Analysis-Differentialrechnung-1. Ableitung - Monotonie - Extremwerte


Beispiel Nr: 04
 Gegeben:Funktion f(x) Gesucht:Definitions- und WertebereichGrenzwerteSymmetrieNullstellen - Schnittpunkt mit der x-AchseAbleitungen - StammfunktionExtremwerte - MonotonieWendepunkte - KrümmungStammfunktionEingeschlossene Fläche mit der x-AchseAufgabe:dRechnung:∙Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf(x)=−13x2−2x+3=−13(x+7,24)(x−1,24)f′(x)=−23x−2f″(x)=−23F(x)=∫(−13x2−2x+3)dx=−19x3−1x2+3x+c∙Definitions- und Wertebereich:D=RW=]−∞,6]∙Grenzwerte:f(x)=x2(−13−2x+3x2)limx→∞f(x)=[−13⋅∞2]=−∞limx→−∞f(x)=[−13⋅(−∞)2]=−∞∙Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse f(−x)=−13⋅(−x)2−2⋅(−x)+3keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung ∙Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x)=−13x2−2x+3=0−13x2−2x+3=0x1/2=+2±(−2)2−4⋅(−13)⋅32⋅(−13)x1/2=+2±8−23x1/2=2±2,83−23x1=2+2,83−23x2=2−2,83−23x1=−7,24x2=1,24x1=−7,24;1-fache Nullstelle―x2=1,24;1-fache Nullstelle―∙Vorzeichentabelle:x<−7,24<x<1,24<xf(x)−0+0−x∈]−7,24;1,24[f(x)>0oberhalb der x-Achse―x∈]−∞;−7,24[∪]1,24;∞[f(x)<0unterhalb der x-Achse―∙Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f′(x)=−23x−2=0−23x−2=0/+2−23x=2/:(−23)x=2−23x=−3x3=−3;1-fache Nullstelle―f″(−3)=−23f″(−3)<0⇒Hochpunkt:(−3/6)―∙Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) x<−3<xf′(x)+0−x∈]−∞;−3[f′(x)>0streng monoton steigend ―x∈]−3;∞[f′(x)<0streng monoton fallend ―∙Eingeschlossene Fläche mit der x-AchseA=∫−7,241,24(−13x2−2x+3)dx=[−19x3−1x2+3x]−7,241,24=(−19⋅1,243−1⋅1,242+3⋅1,24)−(−19⋅(−7,24)3−1⋅(−7,24)2+3⋅(−7,24))=(1,97)−(−32)=33,9