$\begin{array}{l} \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Vektorprodukt} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} -2 \\ -6 \\ -8 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} -2 \\ -6 \\ -8 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{1^2+3^2+4^2} \\ \left|\vec{a}\right| =5,1 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-6\right)^2+\left(-8\right)^2} \\ \quad \left|\vec{b}\right| =10,2 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}=1 \cdot -2 + 3 \cdot -6 +4 \cdot -8 = -52 \\ \bullet \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 3 \cdot\left(-8\right)-4\cdot\left(-6\right) \\ 4\cdot\left(-2\right)-\left(-8\right)\cdot1 \\ 1\cdot\left(-6\right)-3\cdot\left(-2\right) \\ \end{array} \right) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \left|\vec{c}\right| =\sqrt{0^2+0^2+0^2} \\ \left|\vec{c}\right| =0 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{-52}{5,1 \cdot 10,2} \right| \\ \cos \alpha= \left| -1 \right| \\ \alpha=NaN \\ \bullet \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -6 \\ -8 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 1&=&-2 k & \quad /:-2 \quad \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \\ 3&=&-6 k & \quad /:-6 \quad \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \\ 4&=&-8 k & \quad /:-8 \quad \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Vektoren sind linear abhängig - parallel}\\ \end{array}$