$\begin{array}{l} \text{Gegeben:} \\ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right)\qquad \vec{b}= \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \qquad \vec{c}= \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Spatprodukt,lineare Abhängigkeit,Basisvektoren} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \qquad \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array} \right)\qquad \vec{c}= \left( \begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \vec{a}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \qquad \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array} \right) \qquad \vec{c} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ V=\left|\begin{array}{ccc} 2\ & 1 & 3\\ -1& 2 & -3\\ 1& -2 & 3 \\ \end{array}\right| \begin{array}{cc} 2\ & 1 \\ -1& 2 \\ 1& -2 \end{array} \\ V=2 \cdot 2 \cdot 3+ 1 \cdot \left(-3\right) \cdot 1 + 3 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-2\right) \\ - 3 \cdot 2 \cdot 1 - 2 \cdot \left(-3\right) \cdot \left(-2\right) - 1 \cdot \left(-1\right) \cdot 3 \\ V=0 \\ \text{ Die 3 Vektoren sind linear abhängig - komplanar} \end{array}$