Beispielaufgaben Analytische Geometrie - Vektor - Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit

Analytische Geometrie-Vektor-Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit

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Beispiel Nr: 07

\begin{array}{l} Gegeben: \\ Vektoren: \vec{A} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \vec{B} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ Gesucht: \\ Länge der Vektoren: \\ Fläche des Parallelogramms \\ Vektorprodukt \\ Skalarprodukt \\ Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren \\ Gegeben: \\ Vektor: \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 7 \end{array}) \vec{B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 2 \end{array}) \\ Rechnung: \\ Vektoren: \vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 7 \end{array}) \vec{b} = (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 2 \end{array}) \\ ∙ Länge der Vektoren: \\ | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} \\ | \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 3^{2} + 7^{2}} \\ | \vec{a} | = 8, 19 \\ | \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}} \\ | \vec{b} | = \sqrt{0^{2} + 9^{2} + 2^{2}} \\ | \vec{b} | = 9, 22 \\ ∙ Skalarprodukt: \\ \vec{a} \circ \vec{b} = 3 \cdot 0 + 3 \cdot 9 + 7 \cdot 2 = 41 \\ ∙ Vektorprodukt: \\ \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} 3 \cdot 2 - 7 \cdot 9 \\ 7 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0 \end{array}) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} - 57 \\ - 6 \\ 27 \end{array}) \\ ∙ Fläche des Parallelogramms \\ | \vec{c} | = \sqrt{{(- 57)}^{2} + {(- 6)}^{2} + 27^{2}} \\ | \vec{c} | = 63, 4 \\ ∙ Schnittwinkel: \\ \cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} \\ \cos α = | \frac{41}{8, 19 \cdot 9, 22} | \\ \cos α = | 0, 543 | \\ α = 57, 1 \\ ∙ Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren \\ (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 7 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 2 \end{array}) \\ \begin{array}{cccc} 3 & = & 0 k & / : 0 \Rightarrow k = \infty \\ 3 & = & 9 k & / : 9 \Rightarrow k = \frac{1}{3} \\ 7 & = & 2 k & / : 2 \Rightarrow k = 3 \frac{1}{2} \end{array} \\ \Rightarrow Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel \end{array}