Beispielaufgaben Analytische Geometrie - Vektor - Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit

Analytische Geometrie-Vektor-Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit

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Beispiel Nr: 09

\begin{array}{l} Gegeben: \\ Vektoren: \vec{A} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \vec{B} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ Gesucht: \\ Länge der Vektoren: \\ Fläche des Parallelogramms \\ Vektorprodukt \\ Skalarprodukt \\ Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren \\ Gegeben: \\ Vektor: \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \vec{B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \frac{1}{2} \\ 1 \frac{1}{2} \end{array}) \\ Rechnung: \\ Vektoren: \vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \vec{b} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \frac{1}{2} \\ 1 \frac{1}{2} \end{array}) \\ ∙ Länge der Vektoren: \\ | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} \\ | \vec{a} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0^{2}} \\ | \vec{a} | = 2, 24 \\ | \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}} \\ | \vec{b} | = \sqrt{0^{2} + {(4 \frac{1}{2})}^{2} + {(1 \frac{1}{2})}^{2}} \\ | \vec{b} | = 4, 74 \\ ∙ Skalarprodukt: \\ \vec{a} \circ \vec{b} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \frac{1}{2} + 0 \cdot 1 \frac{1}{2} = 4 \frac{1}{2} \\ ∙ Vektorprodukt: \\ \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} - 0 \cdot 4 \frac{1}{2} \\ 0 \cdot 0 - 1 \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 2 \cdot 4 \frac{1}{2} - 1 \cdot 0 \end{array}) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \frac{1}{2} \\ - 3 \\ 9 \end{array}) \\ ∙ Fläche des Parallelogramms \\ | \vec{c} | = \sqrt{{(1 \frac{1}{2})}^{2} + {(- 3)}^{2} + 9^{2}} \\ | \vec{c} | = 9, 6 \\ ∙ Schnittwinkel: \\ \cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} \\ \cos α = | \frac{4 \frac{1}{2}}{2, 24 \cdot 4, 74} | \\ \cos α = | 0, 424 | \\ α = 64, 9 \\ ∙ Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren \\ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \frac{1}{2} \\ 1 \frac{1}{2} \end{array}) \\ \begin{array}{cccc} 2 & = & 0 k & / : 0 \Rightarrow k = \infty \\ 1 & = & 4 \frac{1}{2} k & / : 4 \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{2}{9} \\ 0 & = & 1 \frac{1}{2} k & / : 1 \frac{1}{2} \Rightarrow k = 0 \end{array} \\ \Rightarrow Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel \end{array}