Beispielaufgaben Analysis - Kurvendiskussion - Gebrochenrationale Funktion

Analysis-Kurvendiskussion-Gebrochenrationale Funktion

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Beispiel Nr: 11

\begin{array}{l} Gesucht: \\ Definitions- und  Wertebereich \\ Grenzwerte \\ Symmetrie \\ Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse \\ Ableitungen - Stammfunktion \\ Extremwerte - Monotonie \\ Wendepunkte - Krümmung \\ Funktion: f (x) = \frac{- 1 \frac{1}{2}}{x^{2} - 6 x + 9} < b r / > ∙ Funktion/Faktorisieren \\ f (x) = \frac{- 1 \frac{1}{2}}{x^{2} - 6 x + 9} \\ Nenner faktorisieren: \\ x^{2} - 6 x + 9 = 0 \\ 1 x^{2} - 6 x + 9 = 0 \\ x_{1 / 2} = \frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\ x_{1 / 2} = \frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x_{1 / 2} = \frac{6 \pm 0}{2} \\ x_{1} = \frac{6 + 0}{2} x_{2} = \frac{6 - 0}{2} \\ x_{1} = 3 x_{2} = 3 \\ \underset{―}{x_{1} = 3; 2 -fache Nullstelle} \\ Faktorisierter Term: \\ f (x) = \frac{- 1 \frac{1}{2}}{(x - 3)^{2}} \\ ∙ Definitionsbereich: D = R ∖ {3} \\ f (x) = \frac{- 1 \frac{1}{2}}{x^{2} - 6 x + 9} \\ ∙ 1. Ableitungen und 2.Ableitung \\ f^{'} (x) = \frac{0 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) - (- 1 \frac{1}{2}) \cdot (2 x - 6)}{(x^{2} - 6 x + 9)^{2}} \\ = \frac{0 - (- 3 x + 9)}{(x^{2} - 6 x + 9)^{2}} \\ = \frac{3 x - 9}{(x^{2} - 6 x + 9)^{2}} \\ = \frac{3 x - 9}{(x^{2} - 6 x + 9)^{2}} \\ = \frac{3 (x - 3)}{(x - 3)^{4}} \\ = \frac{3}{(x - 3)^{3}} \\ = \frac{3}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27} \\ f^{″} (x) = \frac{0 \cdot (x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27) - 3 \cdot (3 x^{2} - 18 x + 27)}{(x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27)^{2}} \\ = \frac{0 - (9 x^{2} - 54 x + 81)}{(x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27)^{2}} \\ = \frac{- 9 x^{2} + 54 x - 81}{(x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27)^{2}} \\ = \frac{- 9 x^{2} + 54 x - 81}{(x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27)^{2}} \\ ∙ Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse: \\ Z a e h l e r = 0 \\ - 1 \frac{1}{2} = 0 \\ keine Loesung \\ ∙ Vorzeichentabelle: \\ \begin{array}{cccc} x < & 3 & < x \\ f (x) & - & 0 & - \end{array} \\ \underset{―}{x \in] - \infty; 3 [\cup] 3; \infty [f (x) < 0 unterhalb der x-Achse} \\ ∙ Grenzwerte und Asymtoten: \\ lim_{x \to \pm \infty} \frac{(- 1 \frac{1}{2})}{x^{2} (1 - \frac{6}{x} + \frac{9}{x^{2}})} = 0 \\ Horizontale Asymptote: y = 0 \\ lim_{x \to 3^{+}} \frac{- 1 \frac{1}{2}}{(x - 3)^{2}} = - \infty \\ lim_{x \to 3^{-}} \frac{- 1 \frac{1}{2}}{(x - 3)^{2}} = - \infty \\ Vertikale Asymptote (Polstelle): x = 3 \\ ∙ Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte: \\ f^{'} (x) = \frac{3}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27} = 0 \\ keine Loesung \\ ∙ Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) \\ f^{'} (x) = \frac{3}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27} \\ Zaehler = 0 \\ keine Loesung \\ Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen \\ \underset{―}{x_{2} = 3; 2 -fache Nullstelle} \\ \begin{array}{cccc} x < & 3 & < x \\ f^{'} (x) & - & 0 & + \end{array} \\ \underset{―}{x \in] 3; \infty [f^{'} (x) > 0 streng monoton steigend} \\ \underset{―}{x \in] - \infty; 3 [f^{'} (x) < 0 streng monoton fallend} \\ ∙ Kruemmung \\ f^{″} (x) = \frac{- 9 x^{2} + 54 x - 81}{x^{6} - 18 x^{5} + 135 x^{4} - 540 x^{3} + 1, 22 \cdot 10^{3} x^{2} - 1, 46 \cdot 10^{3} x + 729} \\ Z a e h l e r = 0 \\ - 9 x^{2} + 54 x - 81 = 0 \\ x_{1 / 2} = \frac{- 54 \pm \sqrt{54^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 81)}}{2 \cdot (- 9)} \\ x_{1 / 2} = \frac{- 54 \pm \sqrt{0}}{- 18} \\ x_{1 / 2} = \frac{- 54 \pm 0}{- 18} \\ x_{1} = \frac{- 54 + 0}{- 18} x_{2} = \frac{- 54 - 0}{- 18} \\ x_{1} = 3 x_{2} = 3 \\ \underset{―}{x_{3} = 3; 2 -fache Nullstelle} \\ Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen \\ \underset{―}{x_{4} = 3; 2 -fache Nullstelle} \\ \begin{array}{cccc} x < & 3 & < x \\ f^{″} (x) & - & 0 & - \end{array} \\ \underset{―}{x \in] - \infty; 3 [\cup] 3; \infty [f^{″} (x) < 0 rechtsgekrümmt} \\ F u n k t i o n s g r a p h u n d W e r t e t a b e l l e \end{array}