$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x+3}{ 2x^2+4x+2} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x+3}{ 2x^2+4x+2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-3x+3 = 0 \\ \\ -3 x+3 =0 \qquad /-3 \\ -3 x= -3 \qquad /:\left(-3\right) \\ x=\displaystyle\frac{-3}{-3}\\ x=1 \\ \underline{x_1=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ 2x^2+4x+2 = 0 \\ \\ \\ 2x^{2}+4x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 2 \cdot 2}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{0}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm0}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +0}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -0}{4} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_2=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-3(x-1)}{2(x+1)^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-1\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}}{ x^2+2x+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-1\frac{1}{2})\cdot( x^2+2x+1)-(-1\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2})\cdot( 2x+2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{(-1\frac{1}{2}x^2-3x-1\frac{1}{2})-(-3x^2+3)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{ 1\frac{1}{2}x^2-3x-4\frac{1}{2}}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{ 1\frac{1}{2}x^2-3x-4\frac{1}{2}}{( x^2+2x+1)^2} \\ =\displaystyle\frac{1\frac{1}{2}(x+1)(x-3)}{(x+1)^4} \\ =\displaystyle\frac{1\frac{1}{2}(x-3)}{(x+1)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 1\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ f''\left(x\right)=\frac{ 1\frac{1}{2}\cdot( x^3+3x^2+3x+1)-( 1\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2})\cdot( 3x^2+6x+3)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{( 1\frac{1}{2}x^3+4\frac{1}{2}x^2+4\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2})-( 4\frac{1}{2}x^3-4\frac{1}{2}x^2-22\frac{1}{2}x-13\frac{1}{2})}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-3x^3+9x^2+27x+15}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-3x^3+9x^2+27x+15}{( x^3+3x^2+3x+1)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-1\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2} = 0 \\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;1[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x(-3+\dfrac{3}{x}) }{x^2( 2+\dfrac{4}{x}+\dfrac{2}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}{\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}(x-1)}{(x+1)^2}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -1^-}{\displaystyle\frac{-1\frac{1}{2}(x-1)}{(x+1)^2}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-1\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 1\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}}{ x^3+3x^2+3x+1} = 0 \\ \\ 1\frac{1}{2} x-4\frac{1}{2} =0 \qquad /+4\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2} x= 4\frac{1}{2} \qquad /:1\frac{1}{2} \\ x=\displaystyle\frac{4\frac{1}{2}}{1\frac{1}{2}}\\ x=3 \\ \underline{x_4=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(3)=0,0234>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (3/-\frac{3}{16})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1\frac{1}{2}x-4\frac{1}{2}}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;3[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x^3+9x^2+27x+15}{ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1}\\ \,Zaehler =0 \\\\-3x^3+9x^2+27x+15=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-3x^3&+9x^2&+27x&+15&):( x +1 )=-3x^2 +12x +15 \\ \,-(-3x^3&-3x^2) \\ \hline & 12x^2&+27x&+15&\\ &-( 12x^2&+12x) \\ \hline && 15x&+15&\\ &&-( 15x&+15) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -3x^{2}+12x+15 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-12 \pm\sqrt{12^{2}-4\cdot \left(-3\right) \cdot 15}}{2\cdot\left(-3\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm\sqrt{324}}{-6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm18}{-6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-12 +18}{-6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-12 -18}{-6} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=5 \\ \underline{x_7=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=5; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&5&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;5[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]5;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$