$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x+1}{ \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x+1}{ \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ \frac{1}{2}x+1 = 0 \\ \\ \frac{1}{2} x+1 =0 \qquad /-1 \\ \frac{1}{2} x= -1 \qquad /:\frac{1}{2} \\ x=\displaystyle\frac{-1}{\frac{1}{2}}\\ x=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4} = 0 \\ \\ \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4} =0 \qquad /-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}x^2= -\frac{1}{4} \qquad /:\frac{1}{2} \\ x^2=\displaystyle\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\\ \text{keine Lösung} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+2)}{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{2})} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x+2}{ x^2+\frac{1}{2}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 1\cdot( x^2+\frac{1}{2})-( x+2)\cdot 2x}{( x^2+\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{( x^2+\frac{1}{2})-( 2x^2+4x)}{( x^2+\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{-1x^2-4x+\frac{1}{2}}{( x^2+\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{-1x^2-4x+\frac{1}{2}}{( x^2+\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-2x-4)\cdot( x^4+x^2+\frac{1}{4})-(-1x^2-4x+\frac{1}{2})\cdot( 4x^3+2x)}{( x^4+x^2+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{(-2x^5-4x^4-2x^3-4x^2-\frac{1}{2}x-1)-(-4x^5-16x^4-8x^2+x)}{( x^4+x^2+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{ 2x^5+12x^4-2x^3+4x^2-1\frac{1}{2}x-1}{( x^4+x^2+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{ 2x^5+12x^4-2x^3+4x^2-1\frac{1}{2}x-1}{( x^4+x^2+\frac{1}{4})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x+2 = 0 \\ \underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( \frac{1}{2}+x) }{x^2( \frac{1}{2}+\dfrac{\frac{1}{4}}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-1x^2-4x+\frac{1}{2}}{ x^4+x^2+\frac{1}{4}} = 0 \\ \\ \\ -1x^{2}-4x+\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \frac{1}{2}}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{18}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{4 \pm4,24}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{4 +4,24}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{4 -4,24}{-2} \\ x_{1}=-4,12 \qquad x_{2}=0,121 \\ \underline{x_3=-4,12; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=0,121; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4,12)=0,0139>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-4,12/-0,121)} \\ f''(0,121)=-16 \\ f''(0,121)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0,121/4,12)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x^2-4x+\frac{1}{2}}{ x^4+x^2+\frac{1}{4}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=-4,12; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=0,121; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4,12&< x <&0,121&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4,12;0,121[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4,12[\quad \cup \quad]0,121;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^5+12x^4-2x^3+4x^2-1\frac{1}{2}x-1}{ x^8+2x^6+1\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{16}}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_7=-6,22; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=-0,308; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=0,523; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-6,22&< x <&-0,308&< x <&0,523&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-6,22;-0,308[\quad \cup \quad]0,523;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-6,22[\quad \cup \quad]-0,308;0,523[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$