$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-4x+\frac{1}{2}}{ x^2+4} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-4x+\frac{1}{2}}{ x^2+4} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-4x+\frac{1}{2} = 0 \\ \\ -4 x+\frac{1}{2} =0 \qquad /-\frac{1}{2} \\ -4 x= -\frac{1}{2} \qquad /:\left(-4\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{1}{2}}{-4}\\ x=\frac{1}{8} \\ \underline{x_1=\frac{1}{8}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2+4 = 0 \\ \\ 1x^2+4 =0 \qquad /-4 \\ 1x^2= -4 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{-4}{1}\\ \text{keine Lösung} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-4(x-\frac{1}{8})}{(x^2+4)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{-4x+\frac{1}{2}}{ x^2+4} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{(-4)\cdot( x^2+4)-(-4x+\frac{1}{2})\cdot 2x}{( x^2+4)^2}\\ = \frac{(-4x^2-16)-(-8x^2+x)}{( x^2+4)^2}\\ = \frac{ 4x^2-1x-16}{( x^2+4)^2}\\ = \frac{ 4x^2-1x-16}{( x^2+4)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 8x-1)\cdot( x^4+8x^2+16)-( 4x^2-1x-16)\cdot( 4x^3+16x)}{( x^4+8x^2+16)^2}\\ = \frac{( 8x^5-1x^4+64x^3-8x^2+128x-16)-( 16x^5-4x^4-16x^2-256x)}{( x^4+8x^2+16)^2}\\ = \frac{-8x^5+3x^4+64x^3+8x^2+384x-16}{( x^4+8x^2+16)^2}\\ = \frac{-8x^5+3x^4+64x^3+8x^2+384x-16}{( x^4+8x^2+16)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\-4x+\frac{1}{2} = 0 \\ \underline{x_2=\frac{1}{8}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{8}&< x\\ \hline f(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{8}[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{1}{8};\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x(-4+\dfrac{\frac{1}{2}}{x}) }{x^2( 1+\dfrac{4}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 4x^2-1x-16}{ x^4+8x^2+16} = 0 \\ \\ \\ 4x^{2}-1x-16 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot 4 \cdot \left(-16\right)}}{2\cdot4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{257}}{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm16}{8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +16}{8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -16}{8} \\ x_{1}=2,13 \qquad x_{2}=-1,88 \\ \underline{x_3=-1,88; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_4=2,13; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-1,88)=-0,283 \\ f''(-1,88)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1,88/1,06)} \\ f''(2,13)=0,22>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2,13/-0,939)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 4x^2-1x-16}{ x^4+8x^2+16}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=-1,88; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=2,13; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1,88&< x <&2,13&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1,88[\quad \cup \quad]2,13;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1,88;2,13[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-8x^5+3x^4+64x^3+8x^2+384x-16}{ x^8+16x^6+96x^4+256x^2+256}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_7=-3,3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=0,0416; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=3,64; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3,3&< x <&0,0416&< x <&3,64&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3,3[\quad \cup \quad]0,0416;3,64[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3,3;0,0416[\quad \cup \quad]3,64;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$