$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{5}x}{ x^2+2x+1} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{5}x}{ x^2+2x+1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ \frac{1}{5}x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2+2x+1 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+2x+1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_2=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{\frac{1}{5}x}{(x+1)^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ \frac{1}{5}x}{ x^2+2x+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ \frac{1}{5}\cdot( x^2+2x+1)- \frac{1}{5}x\cdot( 2x+2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{( \frac{1}{5}x^2+\frac{2}{5}x+\frac{1}{5})-( \frac{2}{5}x^2+\frac{2}{5}x)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{-\frac{1}{5}x^2+\frac{1}{5}}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{-\frac{1}{5}x^2+\frac{1}{5}}{( x^2+2x+1)^2} \\ =\displaystyle\frac{-\frac{1}{5}(x+1)(x-1)}{(x+1)^4} \\ =\displaystyle\frac{-\frac{1}{5}(x-1)}{(x+1)^3} \\ =\displaystyle \frac{-\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-\frac{1}{5})\cdot( x^3+3x^2+3x+1)-(-\frac{1}{5}x+\frac{1}{5})\cdot( 3x^2+6x+3)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{(-\frac{1}{5}x^3-\frac{3}{5}x^2-\frac{3}{5}x-\frac{1}{5})-(-\frac{3}{5}x^3-\frac{3}{5}x^2+\frac{3}{5}x+\frac{3}{5})}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{ \frac{2}{5}x^3-1\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{ \frac{2}{5}x^3-1\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}}{( x^3+3x^2+3x+1)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ \frac{1}{5}x = 0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( \frac{1}{5}) }{x^2( 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}{\displaystyle\frac{\frac{1}{5}x}{(x+1)^2}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -1^-}{\displaystyle\frac{\frac{1}{5}x}{(x+1)^2}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-1\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}}{ x^3+3x^2+3x+1} = 0 \\ \\ -\frac{1}{5} x+\frac{1}{5} =0 \qquad /-\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} x= -\frac{1}{5} \qquad /:\left(-\frac{1}{5}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{1}{5}}{-\frac{1}{5}}\\ x=1 \\ \underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=-\frac{1}{40} \\ f''(1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1/\frac{1}{20})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_5=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;1[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{2}{5}x^3-1\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}}{ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1}\\ \,Zaehler =0 \\\\ \frac{2}{5}x^3-1\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_7=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&-1&< x <&2&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;-1[\quad \cup \quad]-1;2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$