$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x}{ 2x+1} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x}{ 2x+1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x = 0 \\ x=0 \Rightarrow x=0 \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ 2x+1 = 0 \\ \\ 2 x+1 =0 \qquad /-1 \\ 2 x= -1 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-1}{2}\\ x=-\frac{1}{2} \\ \underline{x_2=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{x}{2(x+\frac{1}{2})} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x}{ x+\frac{1}{2}} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x&&):( x +\frac{1}{2} )= \frac{1}{2} \\ \,-( \frac{1}{2}x&+\frac{1}{4}) \\ \hline &-\frac{1}{4}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= \frac{1}{2}+\frac{-\frac{1}{4}}{ x+\frac{1}{2}} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ \frac{1}{2}\cdot( x+\frac{1}{2})- \frac{1}{2}x\cdot 1}{( x+\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{( \frac{1}{2}x+\frac{1}{4})- \frac{1}{2}x}{( x+\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{\frac{1}{4}}{( x+\frac{1}{2})^2}\\ = \frac{\frac{1}{4}}{( x+\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2+x+\frac{1}{4})- \frac{1}{4}\cdot( 2x+1)}{( x^2+x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{0-( \frac{1}{2}x+\frac{1}{4})}{( x^2+x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{( x^2+x+\frac{1}{4})^2}\\ = \frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{( x^2+x+\frac{1}{4})^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ \frac{1}{2}x = 0 \\ \underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{2}&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{2};0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x( 1) }{x( 2+x) }}=\frac{0,5}{1}=\frac{1}{2} \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=\frac{1}{2} \\\lim\limits_{x \rightarrow -\frac{1}{2}^+}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}x}{(x+\frac{1}{2})}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -\frac{1}{2}^-}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}x}{(x+\frac{1}{2})}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-\frac{1}{2}\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{4}}{ x^2+x+\frac{1}{4}} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{4}}{ x^2+x+\frac{1}{4}}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]-\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{ x^4+2x^3+1\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}}\\ \,Zaehler =0 \\\\ -\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} =0 \qquad /+\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} x= \frac{1}{4} \qquad /:\left(-\frac{1}{2}\right) \\ x=\displaystyle\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}\\ x=-\frac{1}{2} \\ \underline{x_5=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=-\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{1}{2}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{1}{2}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{1}{2};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$