$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}}{-\frac{1}{4}x-2} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}}{-\frac{1}{4}x-2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5} = 0 \\ \\ -\frac{1}{3} x+\frac{1}{5} =0 \qquad /-\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{3} x= -\frac{1}{5} \qquad /:\left(-\frac{1}{3}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-\frac{1}{5}}{-\frac{1}{3}}\\ x=\frac{3}{5} \\ \underline{x_1=\frac{3}{5}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\-\frac{1}{4}x-2 = 0 \\ \\ -\frac{1}{4} x-2 =0 \qquad /+2 \\ -\frac{1}{4} x= 2 \qquad /:\left(-\frac{1}{4}\right) \\ x=\displaystyle\frac{2}{-\frac{1}{4}}\\ x=-8 \\ \underline{x_2=-8; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-\frac{1}{3}(x-\frac{3}{5})}{-\frac{1}{4}(x+8)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-8\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 1\frac{1}{3}x-\frac{4}{5}}{ x+8} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( 1\frac{1}{3}x&-\frac{4}{5}&):( x +8 )= 1\frac{1}{3} \\ \,-( 1\frac{1}{3}x&+10\frac{2}{3}) \\ \hline &-11\frac{7}{15}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= 1\frac{1}{3}+\frac{-11\frac{7}{15}}{ x+8} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ 1\frac{1}{3}\cdot( x+8)-( 1\frac{1}{3}x-\frac{4}{5})\cdot 1}{( x+8)^2}\\ = \frac{( 1\frac{1}{3}x+10\frac{2}{3})-( 1\frac{1}{3}x-\frac{4}{5})}{( x+8)^2}\\ = \frac{11\frac{7}{15}}{( x+8)^2}\\ = \frac{11\frac{7}{15}}{( x+8)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^2+16x+64)- 11\frac{7}{15}\cdot( 2x+16)}{( x^2+16x+64)^2}\\ = \frac{0-( 22\frac{14}{15}x+183\frac{7}{15})}{( x^2+16x+64)^2}\\ = \frac{-22\frac{14}{15}x-183\frac{7}{15}}{( x^2+16x+64)^2}\\ = \frac{-22\frac{14}{15}x-183\frac{7}{15}}{( x^2+16x+64)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 1\frac{1}{3}x-\frac{4}{5} = 0 \\ \underline{x_3=\frac{3}{5}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-8&< x <&\frac{3}{5}&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-8[\quad \cup \quad]\frac{3}{5};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-8;\frac{3}{5}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x(-\frac{1}{3}+\dfrac{\frac{1}{5}}{x}) }{x(-\frac{1}{4}-\dfrac{2}{x}) }}=\frac{1,33333333333333}{1}=1\frac{1}{3} \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=1\frac{1}{3} \\\lim\limits_{x \rightarrow -8^+}{\displaystyle\frac{1\frac{1}{3}(x-\frac{3}{5})}{(x+8)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -8^-}{\displaystyle\frac{1\frac{1}{3}(x-\frac{3}{5})}{(x+8)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-8\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 11\frac{7}{15}}{ x^2+16x+64} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 11\frac{7}{15}}{ x^2+16x+64}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=-8; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-8&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-8[\quad \cup \quad]-8;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-22\frac{14}{15}x-183\frac{7}{15}}{ x^4+32x^3+384x^2+2,05\cdot 10^{3}x+4,1\cdot 10^{3}}\\ \,Zaehler =0 \\\\ -22\frac{14}{15} x-183\frac{7}{15} =0 \qquad /+183\frac{7}{15} \\ -22\frac{14}{15} x= 183\frac{7}{15} \qquad /:\left(-22\frac{14}{15}\right) \\ x=\displaystyle\frac{183\frac{7}{15}}{-22\frac{14}{15}}\\ x=-8 \\ \underline{x_5=-8; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=-8; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-8&< x <&-8&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-8[\quad \cup \quad]-8;-8[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-8;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$