$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+2x+1}{ x^2-4} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+2x+1}{ x^2-4} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2+2x+1 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+2x+1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-4 = 0 \\ \\ 1x^2-4 =0 \qquad /+4 \\ 1x^2= 4 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{4}{1} \\ x=\pm\sqrt{4} \\ x_1=2 \qquad x_2=-2 \\ \underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-2;2\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x^2+2x+1}{ x^2-4} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( x^2&+2x&+1&):( x^2 -4 )= 1 \\ \,-( x^2&&-4) \\ \hline & 2x&+5&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= 1+\frac{ 2x+5}{ x^2-4} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 2x+2)\cdot( x^2-4)-( x^2+2x+1)\cdot 2x}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{( 2x^3+2x^2-8x-8)-( 2x^3+4x^2+2x)}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{-2x^2-10x-8}{( x^2-4)^2}\\ = \frac{-2x^2-10x-8}{( x^2-4)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-4x-10)\cdot( x^4-8x^2+16)-(-2x^2-10x-8)\cdot( 4x^3-16x)}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{(-4x^5-10x^4+32x^3+80x^2-64x-160)-(-8x^5-40x^4+160x^2+128x)}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{ 4x^5+30x^4+32x^3-80x^2-192x-160}{( x^4-8x^2+16)^2}\\ = \frac{ 4x^5+30x^4+32x^3-80x^2-192x-160}{( x^4-8x^2+16)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x^2+2x+1 = 0 \\ \underline{x_4=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&-1&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;-1[\quad \cup \quad]-1;2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}) }{x^2( 1-\dfrac{4}{x^2}) }}=\frac{1}{1}=1 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=1 \\\lim\limits_{x \rightarrow -2^+}{\displaystyle\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -2^-}{\displaystyle\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-2\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^+}{\displaystyle\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 2^-}{\displaystyle\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=2\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-2x^2-10x-8}{ x^4-8x^2+16} = 0 \\ \\ \\ -2x^{2}-10x-8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+10 \pm\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\cdot \left(-2\right) \cdot \left(-8\right)}}{2\cdot\left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+10 \pm\sqrt{36}}{-4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{10 \pm6}{-4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{10 +6}{-4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{10 -6}{-4} \\ x_{1}=-4 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_5=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-4)=\frac{1}{24}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-4/\frac{3}{4})} \\ f''(-1)=-\frac{2}{3} \\ f''(-1)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-1/0)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-2x^2-10x-8}{ x^4-8x^2+16}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_7=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&-2&< x <&-1&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&+&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;-2[\quad \cup \quad]-2;-1[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]-1;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 4x^5+30x^4+32x^3-80x^2-192x-160}{ x^8-16x^6+96x^4-256x^2+256}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_11=-5,7; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_12=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_13=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_14=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_15=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5,7&< x <&-2&< x <&-2&< x <&2&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5,7;-2[\quad \cup \quad]-2;-2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5,7[\quad \cup \quad]-2;2[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$