Analysis-Kurvendiskussion-Gebrochenrationale Funktion

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
Beispiel Nr: 41
Gesucht:Definitions- und WertebereichGrenzwerteSymmetrieNullstellen - Schnittpunkt mit der x-AchseAbleitungen - StammfunktionExtremwerte - MonotonieWendepunkte - KrümmungFunktion:f(x)=−1x3+3x2−4−12x2−3x−412 <br/>∙Funktion/Faktorisierenf(x)=−1x3+3x2−4−12x2−3x−412Zaehler faktorisieren: −1x3+3x2−4=0−1x3+3x2−4=0Nullstelle für Polynmomdivision erraten:−1(−1x3+3x2−4):(x+1)=−1x2+4x−4−(−1x3−1x2)4x2−4−(4x2+4x)−4x−4−(−4x−4)0−1x2+4x−4=0x1/2=−4±42−4⋅(−1)⋅(−4)2⋅(−1)x1/2=−4±0−2x1/2=−4±0−2x1=−4+0−2x2=−4−0−2x1=2x2=2x1=−1;1-fache Nullstelle―x2=2;2-fache Nullstelle―Nenner faktorisieren:−12x2−3x−412=0−12x2−3x−412=0x1/2=+3±(−3)2−4⋅(−12)⋅(−412)2⋅(−12)x1/2=+3±0−1x1/2=3±0−1x1=3+0−1x2=3−0−1x1=−3x2=−3x3=−3;2-fache Nullstelle―Faktorisierter Term:f(x)=−1(x+1)(x−2)2−12(x+3)2∙Definitionsbereich:D=R∖{−3}f(x)=2x3−6x2+8x2+6x+9Polynomdivision:(2x3−6x2+8):(x2+6x+9)=2x−18−(2x3+12x2+18x)−18x2−18x+8−(−18x2−108x−162)90x+170f(x)=2x−18+90x+170x2+6x+9∙1. Ableitungen und 2.Ableitungf′(x)=(6x2−12x)⋅(x2+6x+9)−(2x3−6x2+8)⋅(2x+6)(x2+6x+9)2=(6x4+24x3−18x2−108x)−(4x4−36x2+16x+48)(x2+6x+9)2=2x4+24x3+18x2−124x−48(x2+6x+9)2=2x4+24x3+18x2−124x−48(x2+6x+9)2=2(x+10,6)(x+3)(x+0,377)(x−2)(x+3)4=2(x+10,6)(x+0,377)(x−2)(x+3)3=2x3+18x2−36x−16x3+9x2+27x+27f″(x)=(6x2+36x−36)⋅(x3+9x2+27x+27)−(2x3+18x2−36x−16)⋅(3x2+18x+27)(x3+9x2+27x+27)2=(6x5+90x4+450x3+810x2−972)−(6x5+90x4+270x3−210x2−1,26⋅103x−432)(x3+9x2+27x+27)2=180x3+1,02⋅103x2+1,26⋅103x−540(x3+9x2+27x+27)2=180x3+1,02⋅103x2+1,26⋅103x−540(x3+9x2+27x+27)2∙Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:Zaehler=02x3−6x2+8=0x4=−1;1-fache Nullstelle―x5=2;2-fache Nullstelle―∙Vorzeichentabelle:x<−3<x<−1<x<2<xf(x)−0−0+0+x∈]−1;2[∪]2;∞[f(x)>0oberhalb der x-Achse―x∈]−∞;−3[∪]−3;−1[f(x)<0unterhalb der x-Achse―∙Grenzwerte und Asymtoten: limx→∞x3(−1+3x−4x3)x2(−12−3x−412x2)=∞limx→−∞x3(−1+3x−4x3)x2(−12−3x−412x2)=∞Schiefe Asymptote:y=2x−18limx→−3+2(x+1)(x−2)2(x+3)2=−∞limx→−3−2(x+1)(x−2)2(x+3)2=−∞Vertikale Asymptote (Polstelle): x=−3∙Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f′(x)=2x3+18x2−36x−16x3+9x2+27x+27=02x3+18x2−36x−16=0Nullstelle für Polynmomdivision erraten:2(2x3+18x2−36x−16):(x−2)=2x2+22x+8−(2x3−4x2)22x2−36x−16−(22x2−44x)8x−16−(8x−16)−7,11⋅10−152x2+22x+8=0x1/2=−22±222−4⋅2⋅82⋅2x1/2=−22±4204x1/2=−22±20,54x1=−22+20,54x2=−22−20,54x1=−0,377x2=−10,6x6=−10,6;1-fache Nullstelle―x7=−0,377;1-fache Nullstelle―x8=2;1-fache Nullstelle―f″(−10,6)=0,515>0⇒Tiefpunkt:(−10,6/−52,8)―f″(−0,377)=−2,67f″(−0,377)<0⇒Hochpunkt:(−0,377/1,02)―f″(2)=0,388>0⇒Tiefpunkt:(2/0)―∙Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) f′(x)=2x3+18x2−36x−16x3+9x2+27x+27Zaehler=0x9=−10,6;1-fache Nullstelle―x10=−0,377;1-fache Nullstelle―x11=2;1-fache Nullstelle―Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmenx12=−3;2-fache Nullstelle―x<−10,6<x<−3<x<−0,377<x<2<xf′(x)+0−0+0−0+x∈]−∞;−10,6[∪]−3;−0,377[∪]2;∞[f′(x)>0streng monoton steigend ―x∈]−10,6;−3[∪]−0,377;2[f′(x)<0streng monoton fallend ―∙Kruemmungf″(x)=180x3+1,02⋅103x2+1,26⋅103x−540x6+18x5+135x4+540x3+1,22⋅103x2+1,46⋅103x+729Zaehler=0180x3+1,02⋅103x2+1,26⋅103x−540=0Nullstelle für Polynmomdivision erraten:−3(180x3+1,02⋅103x2+1,26⋅103x−540):(x+3)=180x2+480x−180−(180x3+540x2)480x2+1,26⋅103x−540−(480x2+1,44⋅103x)−180x−540−(−180x−540)2,27⋅10−13180x2+480x−180=0x1/2=−480±4802−4⋅180⋅(−180)2⋅180x1/2=−480±3,6⋅105360x1/2=−480±600360x1=−480+600360x2=−480−600360x1=13x2=−3x13=−3;2-fache Nullstelle―x14=13;1-fache Nullstelle―Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmenx15=−3;2-fache Nullstelle―x<−3<x<13<xf″(x)+0−0+x∈]−∞;−3[∪]13;∞[f″(x)>0linksgekrümmt―x∈]−3;13[f″(x)<0rechtsgekrümmt―FunktionsgraphundWertetabelle