Analysis-Kurvendiskussion-Gebrochenrationale Funktion
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Beispiel Nr: 42
$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich}
\\ \text{Grenzwerte}
\\ \text{Symmetrie}
\\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse}
\\ \text{Ableitungen - Stammfunktion}
\\ \text{Extremwerte - Monotonie}
\\ \text{Wendepunkte - Krümmung}
\\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+3x}{ 2x-1} \ <br/>
\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+3x}{ 2x-1}
\\
\text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2+3x = 0 \\ x( x+3)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x+3=0\\
x+3 =0 \qquad /-3 \\
x=-3
\\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\\text{Nenner faktorisieren:} \\ 2x-1 = 0 \\ \\
2 x-1 =0 \qquad /+1 \\
2 x= 1 \qquad /:2 \\
x=\displaystyle\frac{1}{2}\\
x=\frac{1}{2}
\\ \underline{x_3=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\ \text{Faktorisierter Term:}\\
f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+3)x}{2(x-\frac{1}{2})} \\
\\
\bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} \\
f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x}{ x-\frac{1}{2}}
\\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x^2&+1\frac{1}{2}x&&):( x -\frac{1}{2} )= \frac{1}{2}x +1\frac{3}{4} \\
\,-( \frac{1}{2}x^2&-\frac{1}{4}x) \\ \hline
& 1\frac{3}{4}x&&\\
&-( 1\frac{3}{4}x&-\frac{7}{8}) \\ \hline
&& \frac{7}{8}&\\
\end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= \frac{1}{2}x+1\frac{3}{4}+\frac{ \frac{7}{8}}{ x-\frac{1}{2}} \\
\\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( x+1\frac{1}{2})\cdot( x-\frac{1}{2})-( \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x)\cdot 1}{( x-\frac{1}{2})^2}\\
= \frac{( x^2+x-\frac{3}{4})-( \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x)}{( x-\frac{1}{2})^2}\\
= \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{( x-\frac{1}{2})^2}\\
= \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{( x-\frac{1}{2})^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( x-\frac{1}{2})\cdot( x^2-1x+\frac{1}{4})-( \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4})\cdot( 2x-1)}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\
= \frac{( x^3-1\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8})-( x^3-1\frac{1}{2}x^2-1x+\frac{3}{4})}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\
= \frac{1\frac{3}{4}x-\frac{7}{8}}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}\\
= \frac{1\frac{3}{4}x-\frac{7}{8}}{( x^2-1x+\frac{1}{4})^2}
\\
\\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ \frac{1}{2}x^2+1\frac{1}{2}x = 0 \\ \underline{x_4=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-3&< x <&0&< x <&\frac{1}{2}&< x\\
\hline
f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-3;0[\quad \cup \quad]\frac{1}{2};\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]0;\frac{1}{2}[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}
\\ \\
\bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{3}{x}) }{x( 2-\dfrac{1}{x}) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{3}{x}) }{x( 2-\dfrac{1}{x}) }}=\infty \\ \\
\text{Schiefe Asymptote:} y= \frac{1}{2}x+1\frac{3}{4}
\\\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+3)x}{(x-\frac{1}{2})}}=\infty\\
\lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+3)x}{(x-\frac{1}{2})}}=-\infty\\
\\
\text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=\frac{1}{2}\\
\\
\\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{ x^2-1x+\frac{1}{4}} = 0 \\ \\
\\
\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4} =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\cdot\frac{1}{2}}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{1}{2} \pm\sqrt{1\frac{3}{4}}}{1}
\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{1}{2} \pm1,32}{1}
\\
x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{1}{2} +1,32}{1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{1}{2} -1,32}{1}
\\
x_{1}=1,82 \qquad x_{2}=-0,823
\\ \underline{x_6=-0,823; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=1,82; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-0,823)=-\frac{2}{7} \\
f''(-0,823)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,823/0,677)}
\\ f''(1,82)=-\frac{2}{7} \\
f''(1,82)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (1,82/3,32)}
\\ \\
\, \,
\\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}}{ x^2-1x+\frac{1}{4}}\\
\,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_8=-0,823; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_9=1,82; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\,
\\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_10=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\,
\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||}
\hline
& x < &-0,823&< x <&\frac{1}{2}&< x <&1,82&< x\\
\hline
f'(x)&+&0&-&0&-&0&+\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;-0,823[\quad \cup \quad]1,82;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-0,823;\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]\frac{1}{2};1,82[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\
\\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1\frac{3}{4}x-\frac{7}{8}}{ x^4-2x^3+1\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}}\\
\,Zaehler =0 \\\\
1\frac{3}{4} x-\frac{7}{8} =0 \qquad /+\frac{7}{8} \\
1\frac{3}{4} x= \frac{7}{8} \qquad /:1\frac{3}{4} \\
x=\displaystyle\frac{\frac{7}{8}}{1\frac{3}{4}}\\
x=\frac{1}{2}
\\ \underline{x_11=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\,
\\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_12=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\
\begin{array}{|c|c|c|c||}
\hline
& x < &\frac{1}{2}&< x\\
\hline
f''(x)&-&0&-\\
\hline
\end{array}\\ \\
\underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad \cup \quad]\frac{1}{2};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\
Funktionsgraph und Wertetabelle \\
\end{array}$