$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3+x}{ x^2-1x-12} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3+x}{ x^2-1x-12} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^3+x = 0 \\ x( x^2+1)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad x^2+1=0\\ 1x^2+1 =0 \qquad /-1 \\ 1x^2= -1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{-1}{1}\\ \text{keine Lösung} \\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2-1x-12 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-1x-12 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-12\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{49}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm7}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +7}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -7}{2} \\ x_{1}=4 \qquad x_{2}=-3 \\ \underline{x_2=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{x(x^2+1)}{(x+3)(x-4)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-3;4\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ x^3+x}{ x^2-1x-12} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( x^3&&+x&&):( x^2 -1x -12 )= x +1 \\ \,-( x^3&-1x^2&-12x) \\ \hline & x^2&+13x&&\\ &-( x^2&-1x&-12) \\ \hline && 14x&+12&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= x+1+\frac{ 14x+12}{ x^2-1x-12} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 3x^2+1)\cdot( x^2-1x-12)-( x^3+x)\cdot( 2x-1)}{( x^2-1x-12)^2}\\ = \frac{( 3x^4-3x^3-35x^2-1x-12)-( 2x^4-1x^3+2x^2-1x)}{( x^2-1x-12)^2}\\ = \frac{ x^4-2x^3-37x^2-12}{( x^2-1x-12)^2}\\ = \frac{ x^4-2x^3-37x^2-12}{( x^2-1x-12)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 4x^3-6x^2-74x)\cdot( x^4-2x^3-23x^2+24x+144)-( x^4-2x^3-37x^2-12)\cdot( 4x^3-6x^2-46x+24)}{( x^4-2x^3-23x^2+24x+144)^2}\\ = \frac{( 4x^7-14x^6-154x^5+382x^4+2,13\cdot 10^{3}x^3-2,64\cdot 10^{3}x^2-1,07\cdot 10^{4}x)-( 4x^7-14x^6-182x^5+338x^4+1,61\cdot 10^{3}x^3-816x^2+552x-288)}{( x^4-2x^3-23x^2+24x+144)^2}\\ = \frac{28x^5+44x^4+528x^3-1,82\cdot 10^{3}x^2-1,12\cdot 10^{4}x+288}{( x^4-2x^3-23x^2+24x+144)^2}\\ = \frac{28x^5+44x^4+528x^3-1,82\cdot 10^{3}x^2-1,12\cdot 10^{4}x+288}{( x^4-2x^3-23x^2+24x+144)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ x^3+x = 0 \\ \underline{x_4=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&0&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;0[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]0;4[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^3( 1+\dfrac{1}{x^2}) }{x^2( 1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{12}{x^2}) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^3( 1+\dfrac{1}{x^2}) }{x^2( 1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{12}{x^2}) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y= x+1 \\\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}{\displaystyle\frac{x(x^2+1)}{(x+3)(x-4)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -3^-}{\displaystyle\frac{x(x^2+1)}{(x+3)(x-4)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-3\\ \lim\limits_{x \rightarrow 4^+}{\displaystyle\frac{x(x^2+1)}{(x+3)(x-4)}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 4^-}{\displaystyle\frac{x(x^2+1)}{(x+3)(x-4)}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=4\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ x^4-2x^3-37x^2-12}{ x^4-2x^3-23x^2+24x+144} = 0 \\ \\ x^4-2x^3-37x^2-12\\ Numerische Suche: \\ \\ \underline{x_5=-5,2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=7,18; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-5,2)=-0,195 \\ f''(-5,2)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-5,2/-7,2)} \\ f''(7,18)=0,125>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (7,18/11,7)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^4-2x^3-37x^2-12}{ x^4-2x^3-23x^2+24x+144}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_7=-5,2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=7,18; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_9=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5,2&< x <&-3&< x <&4&< x <&7,18&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&-&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5,2[\quad \cup \quad]7,18;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5,2;-3[\quad \cup \quad]-3;4[\quad \cup \quad]4;7,18[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 28x^5+44x^4+528x^3-1,82\cdot 10^{3}x^2-1,12\cdot 10^{4}x+288}{ x^8-4x^7-42x^6+140x^5+721x^4-1,68\cdot 10^{3}x^3-6,05\cdot 10^{3}x^2+6,91\cdot 10^{3}x+2,07\cdot 10^{4}}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_11=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_12=0,0256; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_13=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_14=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_15=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-3&< x <&0,0256&< x <&4&< x <&4&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&+&0&-&0&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-3;-3[\quad \cup \quad]-3;0,0256[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0,0256;4[\quad \cup \quad]4;4[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$