Analysis-Kurvendiskussion-Gebrochenrationale Funktion

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
Beispiel Nr: 62
Gesucht:Definitions- und WertebereichGrenzwerteSymmetrieNullstellen - Schnittpunkt mit der x-AchseAbleitungen - StammfunktionExtremwerte - MonotonieWendepunkte - KrümmungFunktion:f(x)=x3−6x2+11x−6x−2 <br/>∙Funktion/Faktorisierenf(x)=x3−6x2+11x−6x−2Zaehler faktorisieren: x3−6x2+11x−6=0x3−6x2+11x−6=0Nullstelle für Polynmomdivision erraten:1(x3−6x2+11x−6):(x−1)=x2−5x+6−(x3−1x2)−5x2+11x−6−(−5x2+5x)6x−6−(6x−6)01x2−5x+6=0x1/2=+5±(−5)2−4⋅1⋅62⋅1x1/2=+5±12x1/2=5±12x1=5+12x2=5−12x1=3x2=2x1=1;1-fache Nullstelle―x2=2;1-fache Nullstelle―x3=3;1-fache Nullstelle―Nenner faktorisieren:x−2=0x−2=0/+2x=2x4=2;1-fache Nullstelle―Faktorisierter Term:f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−2)∙Definitionsbereich:D=R∖{2}∙Term gekürzenf(x)=(x−1)(x−3)1∙Funktion/Ableitungen/Stammfunktionf(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)f′(x)=2x−4f″(x)=2F(x)=∫(x2−4x+3)dx=13x3−2x2+3x+c∙Definitions- und Wertebereich:D=RW=[(−1),∞[∙Grenzwerte:f(x)=x2(1−4x+3x2)limx→∞f(x)=[1⋅∞2]=∞limx→−∞f(x)=[1⋅(−∞)2]=∞∙Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse f(−x)=1⋅(−x)2−4⋅(−x)+3keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung ∙Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:f(x)=x2−4x+3=01x2−4x+3=0x1/2=+4±(−4)2−4⋅1⋅32⋅1x1/2=+4±42x1/2=4±22x1=4+22x2=4−22x1=3x2=1x1=1;1-fache Nullstelle―x2=3;1-fache Nullstelle―∙Vorzeichentabelle:x<1<x<3<xf(x)+0−0+x∈]−∞;1[∪]3;∞[f(x)>0oberhalb der x-Achse―x∈]1;3[f(x)<0unterhalb der x-Achse―∙Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:f′(x)=2x−4=02x−4=0/+42x=4/:2x=42x=2x3=2;1-fache Nullstelle―f″(2)=2>0⇒Tiefpunkt:(2/−1)―∙Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) x<2<xf′(x)−0+x∈]2;∞[f′(x)>0streng monoton steigend ―x∈]−∞;2[f′(x)<0streng monoton fallend ―∙Eingeschlossene Fläche mit der x-AchseA=∫13(x2−4x+3)dx=[13x3−2x2+3x]13=(13⋅33−2⋅32+3⋅3)−(13⋅13−2⋅12+3⋅1)=(−8,88⋅10−15)−(113)=−113FunktionsgraphundWertetabelle