Beispielaufgaben Analytische Geometrie - Ebene - Parameterform - Koordinatenform

Determinante

Vektorprodukt

Analytische Geometrie-Ebene-Parameterform - Koordinatenform

Determinante

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vektorprodukt

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Beispiel Nr: 09

\begin{array}{l} Gegeben: \\ Ebene: \vec{x} = (\begin{array}{c} a 1 \\ a 2 \\ a 3 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} b 1 \\ b 2 \\ b 3 \end{array}) + σ (\begin{array}{c} c 1 \\ c 2 \\ c 3 \end{array}) \\ Gesucht: Ebene in Koordinatenform: n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} + k = 0 \\ Determinante \\ Gegeben: \\ \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 8 \end{array}) + σ (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ Rechnung: \\ \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \\ 8 \end{array}) + σ (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \\ D = \begin{array}{ccc} x_{1} - 3 & 5 & 2 \\ x_{2} - 0 & - 2 & 0 \\ x_{3} - 2 & 8 & 4 \end{array} \begin{array}{cc} x_{1} - 3 & 5 \\ x_{2} - 0 & - 2 \\ x_{3} - 2 & 8 \end{array} = 0 \\ (x_{1} - 3) \cdot (- 2) \cdot 4 + 5 \cdot 0 \cdot (x_{3} - 2) + 2 \cdot (x_{2} - 0) \cdot 8 \\ - 2 \cdot (- 2) \cdot (x_{3} - 2) - (x_{1} - 3) \cdot 0 \cdot 8 - 5 \cdot (x_{2} - 0) \cdot 4 = 0 \\ - 8 x_{1} - 4 x_{2} + 4 x_{3} + 16 = 0 \\ - 8 x_{1} - 4 x_{2} + 4 x_{3} + 16 = 0 \\ Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF \\ - 8 x_{1} - 4 x_{2} + 4 x_{3} + 16 = 0 \\ \vec{n} = (\begin{array}{c} - 8 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \\ Länge des Normalenvektors \\ | \vec{n} | = \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}} \\ | \vec{n} | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 4^{2}} \\ | \vec{n} | = 9, 8 \\ HNF: \frac{- 8 x_{1} - 4 x_{2} + 4 x_{3} + 16}{- 9, 8} = 0 \end{array}