$\begin{array}{l} \text{Gegeben:} \\ \text{Ebene: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Ebene in Koordinatenform: } n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3+k=0 \\ \\ \text{Vektorprodukt}\\ \textbf{Gegeben:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -7 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{array} \right)+ \sigma \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -7 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\= \left( \begin{array}{c} -1 \cdot1-0\cdot0 \\ 0\cdot\left(-1\right)-1\cdot1 \\ 1\cdot0-\left(-1\right)\cdot\left(-1\right) \\ \end{array} \right) \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. } \\ -1 x_1-1 x_2-1 x_3+k=0 \\ \text{Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. } \\ -1 \cdot 1 -1 \cdot 2-1 \cdot -7 +k=0 \\ k=-4 \\ \text{Koordinatenform} \\ -1 x_1-1 x_2-1 x_3-4=0 \\ \\ -1 x_1 -1 x_2 -1 x_3 -4 = 0 \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ -1 x_1-1 x_2-1 x_3-4=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2} \\ \left|\vec{n}\right| =1,73 \\ \text{HNF:} \dfrac{-1 x_1-1 x_2-1 x_3-4}{1,73}=0 \\ \\ \end{array}$