Funktionen-Quadratische Funktion-Graph und Eigenschaften
$y = a\cdot x^{2} +b\cdot x+c$
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$Eigenschaften$
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Beispiel Nr: 20
$\begin{array}{l}
\text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c
\\ \text{Gesucht:} \\
\text{Scheitel und Scheitelform}\\
\text{Definitions- und Wertebereich} \\
\text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\
\text{Faktorisiere Form} \\
\text{Scheitel}
\\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= x^2-3\frac{1}{2}x+5\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= x^2-3\frac{1}{2}x+5\\
\\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\
\begin{array}{l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline
y=1x^2-3\frac{1}{2}x+5 \\
y=1(x^2-3\frac{1}{2}x+5) \\
y=1(x^2-3\frac{1}{2}x+\left(1\frac{3}{4}\right)^2-\left(1\frac{3}{4}\right)^2+5) \\
y=1[(x-1\frac{3}{4})^2-\left(1\frac{3}{4}\right)^2+5] \\
y=1[(x-1\frac{3}{4})^2-3\frac{1}{16}+5] \\
y=1[(x-1\frac{3}{4})^2+1\frac{15}{16}] \\
y=1(x-1\frac{3}{4})^2+1\frac{15}{16} \\
Scheitel(1\frac{3}{4}/1\frac{15}{16})
\end{array} &
\begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline
y=1x^2-3\frac{1}{2}x+5 \\
xs=-\frac{-3\frac{1}{2}}{2\cdot 1} \\
xs=1\frac{3}{4} \\
ys=5-\frac{\left(-3\frac{1}{2}\right)^2}{4\cdot1} \\
ys=1\frac{15}{16} \\
Scheitel(1\frac{3}{4}/1\frac{15}{16})\\
y=1(x-1\frac{3}{4})^2+1\frac{15}{16}
\end{array} \\
\end{array} \\ \\
\\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:} \\\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [1\frac{15}{16};\infty[ \\
\\\\
\\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= x^2-3\frac{1}{2}x+5 = 0 \\
\begin{array}{l|l|l}
\begin{array}{l}
\text{a-b-c Formel}\\ \hline
1x^{2}-3\frac{1}{2}x+5 =0\\
x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(-3\frac{1}{2}\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot1}\\
x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3\frac{1}{2} \pm\sqrt{-7\frac{3}{4}}}{2}\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}&
\begin{array}{l}
\text{p-q Formel}\\ \hline
\\
\\
x^{2}-3\frac{1}{2}x+5 =0
\\
x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-3\frac{1}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-3\frac{1}{2}\right)}{2}\right)^2-5}
\\
x_{1/2}=\displaystyle 1\frac{3}{4}\pm\sqrt{-1\frac{15}{16}}
\\
\text{Diskriminante negativ keine Lösung}
\end{array}\\ \end{array}\\
\\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \end{array}$